Все формулы РФ

Математика / Точка, прямая

Периметр многоугольника

Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон: нужно пройти по границе фигуры и сложить каждую сторону по порядку.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по математике за 3 классВеличины и единицы измеренияНачальная геометрияТочка, прямаяКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$P=a_1+a_2+\dots+a_n$$
Схема Обход сторон многоугольника
3 см4 см5 см4 см6 смP = 3 + 4 + 5 + 4 + 6

Периметр равен сумме всех сторон: 3 + 4 + 5 + 4 + 6.

Обозначения

$P$
периметр многоугольника, единицы длины: см, дм, м, клетки
a1, a2, ..., an
длины всех сторон многоугольника, одинаковые единицы длины
$n$
количество сторон многоугольника, стороны

Условия применения

  • Нужно знать длины всех сторон многоугольника или уметь их измерить.
  • Все длины должны быть записаны в одинаковых единицах.
  • Складываются именно стороны границы, а не диагонали и не внутренние отрезки.

Ограничения

  • Формула не находит площадь фигуры.
  • Если не известна хотя бы одна сторона, периметр нельзя найти без дополнительной информации.
  • Для фигур с кривыми сторонами нужны другие способы измерения длины границы.

Подробное объяснение

Периметр - это длина пути по границе фигуры. Для многоугольника граница состоит из отрезков, поэтому общий путь равен сумме этих отрезков. Если сторон несколько, их можно обозначить a1, a2, ..., an, а периметр записать как P = a1 + a2 + ... + an. Эта запись подходит для треугольника, четырехугольника, пятиугольника и других фигур с прямыми сторонами.

В 3 классе полезно начинать с рисунка. Нужно поставить точку на одной вершине, двигаться по контуру и складывать стороны по порядку, пока не вернемся в начальную точку. Такой способ помогает не пропустить сторону. Если некоторые стороны равны, можно заменить повторяющееся сложение умножением, но общий смысл остается тем же: периметр складывает границу.

Формула обобщает правила, уже знакомые по прямоугольнику и квадрату. У квадрата четыре равные стороны, поэтому P = 4a. У прямоугольника попарно равные стороны, поэтому можно записать P = 2(a + b). У произвольного многоугольника такого сокращения может не быть, поэтому надежнее сложить все стороны.

Как пользоваться формулой

  1. Определите все стороны, которые входят в границу многоугольника.
  2. Проверьте, что длины записаны в одинаковых единицах.
  3. Сложите длины сторон по порядку обхода фигуры.
  4. Запишите ответ в единицах длины и проверьте, что не сложили площадь или диагонали.

Историческая справка

Понятие периметра связано с измерением границ участков, построек, ограждений и контуров предметов. Людям нужно было знать, сколько материала потребуется для забора, рамки, веревки или обводки. Для фигур с прямыми сторонами естественным способом стало сложение всех сторон.

Слово и строгая геометрическая запись появились позже практических задач. В школьной математике формула периметра многоугольника показывает общий принцип: независимо от формы многоугольника, его граница состоит из сторон, а длина всей границы складывается из их длин. Это правило не приписывают одному математику, потому что оно следует из самого определения периметра фигуры.

Историческая линия формулы

У формулы периметра многоугольника нет единственного автора. Она выражает определение периметра как длины границы фигуры и исторически связана с практикой измерения контуров, земли и строительных материалов в задачах измерения.

Пример

У пятиугольника стороны равны 3 см, 4 см, 5 см, 4 см и 6 см. Чтобы найти периметр, нужно сложить все стороны по порядку: P = 3 + 4 + 5 + 4 + 6 = 22 см. Ответ означает длину всей границы фигуры. Если бы нужно было узнать, сколько клеток или квадратных сантиметров внутри фигуры, это была бы задача на площадь. При нахождении периметра удобно мысленно идти по контуру и отмечать каждую сторону, чтобы не пропустить одну из них и не сложить какую-то сторону дважды в записи решения. Единица ответа остается сантиметрами.

Частая ошибка

Частая ошибка - сложить только разные по длине стороны и забыть повторяющиеся. Если у фигуры две стороны по 4 см, обе входят в периметр. Вторая ошибка - добавить диагональ, которая нарисована внутри фигуры, хотя она не является частью границы. Третья ошибка - смешивать единицы: например, сложить 2 дм и 15 см как 17 без перевода. Еще одна ошибка - перепутать периметр с площадью и начать умножать стороны без основания.

Практика

Задачи с решением

Периметр пятиугольника

Условие. Стороны пятиугольника равны 2 см, 3 см, 4 см, 3 см и 5 см. Найдите периметр.

Решение. P = 2 + 3 + 4 + 3 + 5 = 17 см.

Ответ. 17 см

Контур участка

Условие. Участок имеет четыре стороны: 12 м, 8 м, 10 м и 9 м. Сколько метров забора нужно для контура?

Решение. Нужен периметр: P = 12 + 8 + 10 + 9 = 39 м.

Ответ. 39 м

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Prealgebra 2e: Math Models and Geometry, Perimeter

Связанные формулы

Математика

Периметр простой ломаной

$P=l_1+l_2+\dots+l_n$

Периметр простой ломаной или границы фигуры находят сложением длин всех ее звеньев или сторон в одной единице длины без пропусков.

Математика

Периметр квадрата

$P=4a$

Периметр квадрата равен длине одной стороны, умноженной на 4, потому что у квадрата четыре равные стороны границы фигуры.