Все формулы РФ

Математика / Точка, прямая

Площадь составной фигуры через сумму частей

Площадь составной фигуры можно найти как сумму площадей непересекающихся частей, если фигуру удобно разбить на прямоугольники или квадраты.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по математике за 4 классВеличины и единицы измеренияДлина, массаНачальная геометрияТочка, прямаяКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$S=S_1+S_2+\dots+S_n$$
Схема Сумма площадей частей
S1S2S = S1 + S2

S = S1 + S2: площади частей складываются.

Обозначения

$S$
площадь всей составной фигуры, см², дм², м², квадратные клетки
S1, S2, ..., Sn
площади отдельных частей, те же квадратные единицы
$n$
количество частей разбиения, части

Условия применения

  • Части покрывают всю фигуру без пропусков.
  • Части не перекрывают друг друга, иначе площадь пересечения будет посчитана дважды.
  • Площади всех частей записаны в одинаковых квадратных единицах.

Ограничения

  • Если части пересекаются, простая сумма дает завышенный ответ.
  • Если в фигуре есть вырез, иногда удобнее использовать вычитание из большого прямоугольника.
  • Для криволинейных фигур на этом уровне формула суммы прямоугольников может быть только приближением.

Подробное объяснение

Площадь показывает, сколько квадратных единиц помещается внутри фигуры. Если фигуру разрезать на несколько непересекающихся частей, все квадратные единицы внутри первой части и все квадратные единицы внутри второй части вместе дадут площадь всей фигуры. Поэтому площадь составной фигуры равна сумме площадей частей.

В 4 классе чаще всего составные фигуры разбивают на прямоугольники и квадраты. Для каждого прямоугольника применяют формулу S = a · b, а затем складывают результаты. На клетчатой бумаге это особенно наглядно: можно увидеть, что клетки одной части и клетки другой части вместе заполняют всю фигуру.

Выбор разбиения может быть разным. Одну и ту же фигуру иногда можно разрезать вертикально или горизонтально. Если оба разбиения выполнены без перекрытий и пропусков, ответ должен получиться одинаковым. Это хороший способ проверить решение и избежать случайного пропуска части фигуры на схеме.

Как пользоваться формулой

  1. Разбейте фигуру на простые части: прямоугольники или квадраты.
  2. Проверьте, что части не перекрываются и не оставляют пустых мест.
  3. Найдите площадь каждой части.
  4. Сложите площади частей и запишите ответ в квадратных единицах.

Историческая справка

Разбиение сложных фигур на простые части является одним из древнейших приемов геометрии. Землемеры, строители и мастера редко имели дело только с идеальными прямоугольниками; участки и поверхности приходилось делить на удобные области, измерять их отдельно и складывать результаты.

Этот прием сохранился в школьной математике, потому что он очень практичен. Вместо того чтобы искать новую формулу для каждой необычной фигуры, ученик использует уже известные площади прямоугольников и квадратов. В более старших классах эта идея станет основой для сложных методов измерения площадей, но в 4 классе она остается наглядной и предметной задачей на чертеже.

Историческая линия формулы

У правила сложения площадей частей нет одного автора. Оно следует из самого смысла площади как количества единичных квадратов и исторически связано с землемерием, строительством и разбиением фигур на простые области измерения.

Пример

Фигура состоит из двух прямоугольников. Первый прямоугольник имеет стороны 6 см и 4 см, его площадь S1 = 6 · 4 = 24 см². Второй прямоугольник имеет стороны 3 см и 5 см, его площадь S2 = 3 · 5 = 15 см². Если эти прямоугольники не накладываются друг на друга и вместе образуют всю фигуру, площадь составной фигуры равна S = 24 + 15 = 39 см². Главное - убедиться, что на рисунке нет общей области, которую сложили два раза. Полезно обвести каждую часть разным цветом и проверить, что вся фигура закрыта.

Частая ошибка

Частая ошибка - разбить фигуру на части, которые перекрываются, и затем сложить их площади. Тогда общая область считается дважды. Вторая ошибка - оставить незакрытый кусок фигуры между частями. Третья ошибка - сложить стороны вместо площадей: сначала для каждой части находят площадь, и только потом складывают площади. Еще одна ошибка - смешивать см² и дм² без перевода к общей единице.

Практика

Задачи с решением

Две части фигуры

Условие. Фигура состоит из прямоугольников площадью 18 см² и 25 см². Найдите общую площадь.

Решение. Части не перекрываются, значит S = 18 + 25 = 43 см².

Ответ. 43 см²

Г-образная фигура

Условие. Г-образную фигуру разбили на прямоугольники 7 см на 3 см и 4 см на 2 см. Найдите площадь.

Решение. S1 = 7 · 3 = 21 см², S2 = 4 · 2 = 8 см². Общая площадь S = 21 + 8 = 29 см².

Ответ. 29 см²

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Prealgebra 2e: Math Models and Geometry, area of composite figures

Связанные формулы

Математика

Площадь прямоугольника по клеткам

$S=a\cdot b$

Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины: формула показывает, сколько единичных квадратов помещается внутри прямоугольника.

Математика

Площадь составной фигуры через вычитание

$S=S_{\text{большая}}-S_{\text{вырез}}$

Площадь фигуры с вырезом можно найти как площадь большого прямоугольника минус площадь удаленной части, если вырез полностью находится внутри.

Математика

Перевод квадратных единиц площади

$1\,\text{дм}^2=100\,\text{см}^2,\quad 1\,\text{м}^2=100\,\text{дм}^2=10000\,\text{см}^2$

Квадратные единицы переводятся не как длины: если сторона увеличивается в 10 раз, площадь единичного квадрата увеличивается в 100 раз.