Математика / Функции и графики

Ордината вершины параболы

Ордината вершины параболы находится подстановкой x0 в квадратичную функцию или по формуле через коэффициенты a, b и c; она дает минимум или максимум функции.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Школьная программа ОГЭ Формулы по математике за 9 класс Формулы по математике для ОГЭ Функции и графики Парабола, вершина Калькулятор Есть историческая справка

Формула

y_0=f(x_0)=c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}

Координатная плоскость Полная координата вершины

На графике показана точка (x0; y0), вертикальная ось симметрии и значение функции в вершине.

Ордината вершины находится как значение функции при x0.

Обозначения

$y_0$: ордината вершины параболы
$f(x_0)$: значение функции при абсциссе вершины
a, b, c: коэффициенты функции y = ax^2 + bx + c

Условия применения

Функция должна быть приведена к виду y = ax^2 + bx + c.
Коэффициент a не равен нулю.
Если сначала найдено x0, его нужно подставлять в исходную функцию без потери знаков.

Ограничения

Формула через коэффициенты удобна, но в школьных задачах часто безопаснее найти x0 и подставить его в функцию.
Если функция дана в вершиной форме y = a(x-h)^2+k, ордината вершины уже равна k.
Ошибка в x0 автоматически приводит к ошибке в y0, поэтому координаты вершины проверяют вместе.

Подробное объяснение

Вершина параболы - это точка, где график меняет направление: для ветвей вверх это нижняя точка, для ветвей вниз - верхняя. Чтобы получить эту точку полностью, одной абсциссы недостаточно: нужно найти значение функции в этой абсциссе.

Самый понятный способ - сначала найти x0 по формуле -b/(2a), затем подставить его в y = ax^2 + bx + c. Так меньше риск перепутать готовую формулу и легче проверить вычисления.

Формула y0 = c - b^2/(4a) получается из этой подстановки и упрощения. Она полезна, когда нужно быстро записать результат через коэффициенты, но требует аккуратной работы со знаками и дробями.

Ордината вершины сразу говорит об экстремуме. Если a > 0, парабола направлена вверх, и y0 - минимум. Если a < 0, парабола направлена вниз, и y0 - максимум.

В задачах на графики вершина помогает выбрать масштаб и понять, где расположена парабола относительно осей. Если после вычислений вершина явно не соответствует виду графика, стоит проверить знаки коэффициентов.

Как пользоваться формулой

Найдите x0 по формуле -b/(2a).
Подставьте x0 в исходную функцию y = ax^2 + bx + c.
Аккуратно выполните возведение x0 в квадрат.
Запишите вершину как пару (x0; y0).
Определите по знаку a, является ли y0 минимумом или максимумом.

Историческая справка

Работа с вершиной параболы связана с историей квадратных уравнений и аналитической геометрии. Когда кривые второго порядка стали описывать уравнениями на координатной плоскости, свойства параболы начали выводить из коэффициентов. Выделение полного квадрата превратило геометрическую задачу о форме кривой в алгебраическую задачу о преобразовании выражения. Позже, с развитием понятия функции, вершина стала рассматриваться еще и как точка экстремума. Этот подход оказался удобным для задач на движение, площади и оптимизацию. В школьной программе 9 класса эта идея используется в сжатом виде: координаты вершины позволяют быстро построить график и решить задачи на наибольшее или наименьшее значение.

Пример

Найдите вершину параболы y = x^2 - 4x + 1. Сначала x0 = -b/(2a) = -(-4)/(2*1) = 2. Теперь подставляем x = 2 в функцию: y0 = 2^2 - 4*2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3. Вершина равна (2; -3). Проверка через формулу: y0 = c - b^2/(4a) = 1 - 16/4 = -3. Оба способа совпали. Так как a = 1 > 0, ветви направлены вверх, значит y0 = -3 является наименьшим значением функции. Если в задаче нужно только минимальное значение, ответом будет -3; если спрашивают вершину, нужно указать обе координаты. Так мы не смешиваем значение функции и точку графика.

Частая ошибка

Частая ошибка - считать y0 равным свободному члену c. Свободный член показывает пересечение с осью Oy, а не вершину. Вторая ошибка - найти x0 правильно, но при подстановке потерять квадрат или знак b. Третья ошибка - забыть, что при a < 0 вершина дает максимум, а не минимум. Еще одна ошибка - записывать вершину как (y0; x0), меняя местами координаты.

Практика

Задачи с решением

Вершина параболы

Условие. Найдите ординату вершины y = x^2 - 2x - 3.

Решение. x0 = -(-2)/(2*1)=1. y0 = 1 - 2 - 3 = -4.

Ответ. y0 = -4

Максимум функции

Условие. Для y = -x^2 + 6x - 5 найдите y0.

Решение. x0 = -6/(2*(-1))=3. y0 = -9 + 18 - 5 = 4. Так как a < 0, это максимум.

Ответ. y0 = 4

Калькулятор

Посчитать по формуле

abc

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, раздел Quadratic Functions
Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике: квадратичная функция

Связанные формулы

Математика

Абсцисса вершины параболы

$x_0=-\frac{b}{2a}$

Абсцисса вершины параболы y = ax^2 + bx + c равна -b/(2a) и показывает, при каком x квадратичная функция достигает вершины.

Математика

Ось симметрии параболы

$x=-\frac{b}{2a}$

Ось симметрии параболы y = ax^2 + bx + c - вертикальная прямая x = -b/(2a), проходящая через вершину графика и делящая его пополам.

Математика

Корни приведенного квадратного уравнения

$x^2+px+q=0,\quad x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$

Приведенное квадратное уравнение имеет коэффициент 1 при x², поэтому формула корней записывается через p и q и напрямую связывается с теоремой Виета.