Линейная алгебра

Квадратичные формы

Квадратичные формы, их матрицы, канонический вид и признаки определенности.

10 формул

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Квадратичная форма как квадратичная функция вектора	$q(x)=x^T A x = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_i x_j, \quad x \in \mathbb R^n.$	Матрицы, определители	Любая квадратичная форма задаётся симметричной (или эквивалентно любая) матрицей A через скалярное произведение вектора x с образом A x.
Антисимметричная часть в квадратичной форме не влияет	$x^T A x = x^T \frac{A+A^T}{2} x = x^T A_{\mathrm{sym}} x.$	Матрицы, определители	В x^T A x участвуют только симметричные коэффициенты, поэтому любую матрицу A можно заменить симметричной частью без изменения квадратичной формы.
Построение матрицы квадратичной формы из полинома	$q(x,y,z)=a x^2+2bxy+2cxz+d y^2+2eyz+f z^2=\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b&c\\ b&d&e\\ c&e&f\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}.$	Матрицы, определители	Любую квадратичную форму двух- и трёхпеременных можно записать через матрицу, где коэффициенты при смешанных членах делятся пополам и переносятся в симметричные ячейки.
Квадратичная форма при смене переменных	$x=S y, \quad Q(y)=x^T A x = y^T (S^T A S) y = y^T B y.$	Матрицы, определители	При обратимой линейной замене x = S y матрица формы меняется по сопряжённому преобразованию, а сама квадратичная форма остаётся той же величиной.
Снятие линейного члена через сдвиг центра	$x^T A x+2b^T x+c=(x+x_0)^T A (x+x_0)+c-b^T A^{-1} b, \quad x_0=-A^{-1}b, \ (A \text{ nonsingular}).$	Матрицы, определители	Если у квадратичной формы есть линейная часть, её удобно убрать сдвигом переменных x→x+x₀ и затем сводить оставшуюся чистую квадратичную часть к главным осям.
Устранение смешанного члена в 2D	$q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2, \quad \tan 2\theta=\frac{2b}{a-c}, \quad q = \lambda_1 u^2 + \lambda_2 v^2.$	Матрицы, определители	В плоскости поворот координат на θ (u,v) убирает смешанный член q. Главные оси соответствуют направлениям, где кросс-термин исчезает.
Ортогональная диагонализация симметричной матрицы квадратичной формы	$A=Q\Lambda Q^T, \quad Q^TQ=I, \quad Q=[q_1\dots q_n], \; q(x)=x^T A x=(Q^Tx)^T \Lambda (Q^Tx).$	Матрицы, определители	Для симметричной A всегда существует ортогональная матрица собственных векторов, которая переводит квадратичную форму в диагональный вид и задаёт главные оси.
Канонический вид в главных осях	$q(x)=x^T A x = z^T\Lambda z = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i z_i^2, \quad x=Qz.$	Матрицы, определители	В координатах главных осей квадратичная форма становится суммой квадратов с весами-коэффициентами λ_i, что упрощает классификацию многообразий.
Определенность через главные миноры	$A\succ 0 \iff \Delta_k>0 \ \forall k, \quad \Delta_k=\det(A_k), \quad A_k \in \mathbb R^{k\times k}.$	Матрицы, определители	Критерий Сильвестра даёт практичный способ определить знак квадратичной формы через детерминанты ведущих главных миноров симметрической матрицы.
Экстремумы квадратичной формы на сфере	$\lambda_{\min} \le \frac{x^T A x}{x^T x} \le \lambda_{\max}, \quad A=A^T.$	Матрицы, определители	На единичной сфере максимум и минимум квадратичной формы достигаются на собственных векторах, соответствующих λ_max и λ_min.