Физика / Колебания и волны

Частота биений двух близких звуковых частот

Биения — периодическое усиление и ослабление суммарного колебания при сложении двух близких частот. Число максимумов огибающей в секунду равно модулю разности исходных частот, а не половине этой разности.

Опубликовано: 16 октября 2026 г.Обновлено: 16 октября 2026 г.

Формула

f_{\mathrm{б}}=|f_1-f_2|,\qquad T_{\mathrm{б}}=\frac{1}{|f_1-f_2|}

График Огибающая биений: 440 и 444 Гц

Максимумы повторяются через 0,25 с: четыре биения в секунду.

Обозначения

$f₁$: частота первого гармонического колебания, Гц
$f₂$: частота второго гармонического колебания, Гц
$fб$: частота повторения максимумов биений, Гц
$Tб$: время между соседними максимумами, с

Условия применения

Два колебания складываются линейно и наблюдаются в одной точке. Частоты стабильны и близки по сравнению с их средним значением, чтобы различать медленную огибающую и быстрое колебание. Для полного исчезновения амплитуды в минимумах исходные амплитуды должны быть равны.

Ограничения

При разных амплитудах минимумы не обязаны доходить до нуля. Одно значение fб не определяет, какая частота больше. При большой разности частот математическая суперпозиция сохраняется, но восприятие может уже не быть медленными биениями; нелинейные разностные тоны требуют отдельного объяснения.

Подробное объяснение

В фиксированной точке сложим A cos(2πf₁t) и A cos(2πf₂t). Тригонометрическое тождество даёт 2A cos(π(f₁−f₂)t) cos(2π(f₁+f₂)t/2). Быстрое колебание имеет среднюю частоту, а его коэффициент медленно меняется из-за разности частот.

Амплитуда как неотрицательная величина равна 2A|cos(π(f₁−f₂)t)|. Модуль важен: положительный и отрицательный экстремумы косинуса дают одинаково сильное колебание. Поэтому соседние максимумы громкости повторяются с частотой |f₁−f₂|, хотя знакопеременный множитель имеет частоту вдвое меньше.

За время 1/|f₁−f₂| более быстрое колебание набирает относительно второго ровно один дополнительный цикл. Относительная фаза возвращается к прежнему значению, и очередное усиление повторяется. Это позволяет вывести период без сложения синусоид.

Если одна амплитуда больше другой, огибающая меняется между суммой и модулем разности амплитуд. Период всё равно задаётся частотной разностью, однако полного гашения не будет. Поэтому отсутствие тишины между максимумами не доказывает отсутствия биений.

При настройке частоту эталона знают, но из уравнения fб=|f−fэт| получают два кандидата. Небольшое контролируемое повышение частоты и наблюдение изменения биений помогает выбрать сторону: сближение частот уменьшает число усилений в секунду.

Как пользоваться формулой

Выделите две близкие устойчивые частоты и приведите обе к герцам; килогерцы предварительно переведите.
Вычтите частоты и возьмите модуль разности, поскольку число биений в секунду не бывает отрицательным.
Для периода разделите единицу на частоту биений; при совпадении частот период биений не определяется.
В обратной задаче запишите оба варианта fэт±fб и выберите один только по дополнительному условию.

Историческая справка

Биения связывают музыкальную настройку с общей теорией суперпозиции. При сравнении близких тонов медленные изменения силы звука позволяют заметить разность частот, которую трудно оценить по высоте каждого тона отдельно. Классическая теория акустики XIX века, систематизированная в трудах Рэлея, рассматривала колебания и их совместное действие; современный учебный вывод использует обычное тождество суммы косинусов. OpenStax объясняет биения на примере настройки фортепиано, а университетский проект Physclips отдельно различает интерференционные биения и нелинейные разностные тоны. Это различие существенно: слышимая медленная огибающая не означает появления в линейной сумме самостоятельной гармоники на частоте разности. Историю наблюдений не следует сводить к приписыванию элементарной формулы одному человеку.

Историческая линия формулы

Формула частоты биений следует из принципа суперпозиции и тригонометрического тождества. Музыкальная практика даёт наглядное применение, но не устанавливает единственного автора закона; интерференционные биения нужно отличать от нелинейных комбинационных тонов.

Пример

Камертон даёт 440 Гц, а сравниваемая струна — 444 Гц. Частота биений fб=|444−440|=4 Гц: суммарное колебание усиливается четыре раза в секунду. Период между соседними максимумами Tб=1/4=0,25 с. За это время камертон совершает 440·0,25=110 колебаний, струна — 444·0,25=111, то есть относительная фаза набирает ровно один полный оборот. Средняя частота 442 Гц относится к быстрому множителю, а не к биениям. Если известны только эталон 440 Гц и четыре биения в секунду, возможна также струна 436 Гц; знак расстройки из одного подсчёта максимумов не следует.

Частая ошибка

Не делите разность частот на два: огибающая по модулю имеет два максимума за период знакопеременного косинуса. Не принимайте среднюю частоту за частоту биений. Не определяйте знак расстройки без дополнительного условия. Не требуйте нулевой амплитуды в минимуме, если исходные амплитуды неодинаковы.

Практика

Задачи с решением

Период усилений

Условие. Два тона имеют частоты 256 и 258,5 Гц. Найдите fб и Tб.

Решение. fб=2,5 Гц, Tб=1/2,5=0,4 с.

Ответ. 2,5 Гц; 0,4 с

Частота ниже эталона

Условие. Эталон 500 Гц, биения 3 Гц. Известно, что второй тон ниже эталона. Найдите его частоту.

Решение. Из двух кандидатов 500±3 выбираем меньший: 497 Гц.

Ответ. 497 Гц

Дополнительные источники

https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/17-6-beats
https://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/beats.htm
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Rayleigh/

Связанные формулы

Физика

Частота звуковой волны

$\nu=\frac{v}{\lambda}$

Частота звуковой волны равна скорости распространения звука, деленной на длину волны, и показывает число колебаний источника за секунду.

Физика

Плоская волна

$\xi=A\cos(\omega t-kx+\varphi_0)$

Плоская волна описывается гармонической функцией фазы omega t - kx + phi0. Амплитуда в идеальной модели не зависит от координат фронта.

Физика

Стоячая волна

$y=2A\sin kx\cos\omega t$

Стоячая волна возникает при сложении двух одинаковых встречных волн и может быть записана как y = 2A sin kx cos omega t.