Машиностроение / Детали машин

Касательное напряжение круглого вала при кручении

Максимальное касательное напряжение в сплошном круглом валу при кручении зависит от крутящего момента и куба диаметра, поэтому диаметр сильно влияет на прочность.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

\tau_{\max}=\frac{16M}{\pi d^3}

Сечение вала Распределение касательных напряжений при кручении

Круглое сечение вала показано с нулевым напряжением в центре и максимальным напряжением на наружной поверхности.

При кручении опасная зона сплошного круглого вала находится у поверхности.

Обозначения

$\tau_{\max}$: максимальное касательное напряжение на поверхности вала, Па или МПа
$M$: крутящий момент, Н·м
$d$: диаметр сплошного круглого вала, м или мм

Условия применения

Вал сплошной, круглый и работает в упругой области материала.
Сечение достаточно далеко от резких переходов, канавок, шпоночных пазов и концентраторов напряжений.
Момент считается приложенным как чистое кручение без учета изгиба, если изгиб не включен отдельно.

Ограничения

Для полого вала нужна формула через полярный момент инерции, а не упрощение для сплошного круга.
Шпоночные пазы, ступени, отверстия и резьбы повышают местные напряжения и требуют коэффициентов концентрации.
При переменном моменте нужна усталостная проверка, а не только статическое напряжение.

Подробное объяснение

Кручение круглого вала вызывает касательные напряжения, которые растут от центра к поверхности. В центре они равны нулю, а на наружной поверхности достигают максимума. Общая теория кручения дает tau = M r / J, где J - полярный момент инерции сечения. Для сплошного круглого сечения J = pi d^4 / 32, а максимальный радиус r = d/2. После подстановки получается tau_max = 16M/(pi d^3).

Куб диаметра делает формулу очень чувствительной к размеру вала. Небольшое увеличение диаметра резко снижает напряжение, но одновременно увеличивает массу, габарит и стоимость. Поэтому расчет вала всегда является компромиссом между прочностью, жесткостью, массой, технологичностью и посадочными размерами под подшипники и детали передачи.

Формула описывает гладкий участок вала. В реальной детали часто есть ступени, канавки, шпоночные пазы, резьба, отверстия и посадки с натягом. В этих местах напряжение распределяется не так ровно, и локальный максимум может быть значительно выше расчетного по номинальному диаметру. Для ответственных валов используют коэффициенты концентрации напряжений и усталостные коэффициенты.

Кручение редко существует отдельно. Шкив создает радиальную силу, зубчатое колесо - радиальную и тангенциальную, муфта - возможную несоосность. Поэтому после первичной проверки на кручение обычно считают изгиб, строят эпюры моментов, затем проверяют эквивалентное напряжение и прогибы. Но формула tau_max остается базовым ориентиром для первого подбора диаметра.

Как пользоваться формулой

Найдите крутящий момент на рассматриваемом участке вала.
Выберите систему единиц и приведите момент и диаметр к ней.
Подставьте момент и диаметр в формулу.
Сравните напряжение с допускаемым касательным напряжением материала.
Проверьте концентраторы, изгиб, усталость и жесткость отдельными расчетами.

Историческая справка

Теория кручения валов развивалась вместе с сопротивлением материалов и проектированием машин. В XIX веке рост мощности паровых машин, станков и судовых валов сделал расчеты кручения практической необходимостью. Важную роль сыграли работы по упругости и сопротивлению материалов, включая исследования Сен-Венана, которые помогли понять распределение напряжений в стержнях и валах. Современные учебники деталей машин используют эту формулу как простейший случай общей теории кручения для круглого сечения. В реальном проектировании она дополняется расчетом концентраций, усталости и жесткости. Даже при численном моделировании эта формула нужна как быстрая проверка здравого смысла результата.

Историческая линия формулы

Формула является следствием классической теории кручения круглых стержней и сопротивления материалов. Ее исторически связывают с развитием теории упругости и работами инженеров-механиков XIX века, а не с единственным автором.

Пример

Сплошной вал диаметром 30 мм передает момент 120 Н·м. Чтобы работать в МПа, удобно перевести момент в Н·мм: 120 Н·м = 120000 Н·мм. Тогда tau_max = 16 * 120000 / (pi * 30^3) ≈ 22,6 МПа. Если уменьшить диаметр до 25 мм при том же моменте, напряжение станет 16 * 120000 / (pi * 25^3) ≈ 39,1 МПа. Диаметр уменьшился всего на 17%, а напряжение выросло почти в 1,7 раза, потому что в формуле стоит d^3. Поэтому экономия нескольких миллиметров на валу может неожиданно съесть весь запас прочности. После этого проверяют еще изгиб и концентраторы.

Частая ошибка

Частая ошибка - смешать Н·м и Н·мм: если диаметр подставлен в миллиметрах, момент тоже должен быть в Н·мм, иначе результат будет в тысячу раз неверным. Вторая ошибка - применять формулу к участку со шпоночным пазом как к гладкому валу. Третья ошибка - проверять только кручение, хотя реальный вал одновременно изгибается от шкива, зубчатого колеса или муфты. Также нельзя использовать статическое допускаемое напряжение для циклического режима без учета усталости.

Практика

Задачи с решением

Напряжение в валу

Условие. Вал диаметром 40 мм передает момент 300 Н·м. Найдите максимальное касательное напряжение.

Решение. Переводим момент: 300 Н·м = 300000 Н·мм. tau = 16 * 300000 / (pi * 40^3) ≈ 23,9 МПа.

Ответ. примерно 23,9 МПа

Влияние диаметра

Условие. Как изменится напряжение кручения, если диаметр вала увеличить с 20 до 25 мм при том же моменте?

Решение. Напряжение обратно пропорционально d^3. Отношение старого к новому: (25/20)^3 ≈ 1,95. Значит, напряжение уменьшится почти в 1,95 раза.

Ответ. примерно в 1,95 раза меньше

Дополнительные источники

MIT OpenCourseWare 2.72 Elements of Mechanical Design, Lecture 03: Shafts & ways
OpenStax University Physics Volume 1, Stress, Strain, and Elastic Modulus
Shigley, Mechanical Engineering Design, shaft stresses in torsion

Связанные формулы

Машиностроение

Крутящий момент по мощности и оборотам

$M=\frac{9550P}{n}$

Крутящий момент в Н·м можно найти по мощности в кВт и частоте вращения в об/мин через инженерную формулу с коэффициентом 9550.

Машиностроение

Угол закручивания круглого вала

$\varphi=\frac{ML}{GJ},\quad J=\frac{\pi d^4}{32}$

Угол закручивания показывает крутильную жесткость вала: чем больше момент и длина, тем сильнее поворот, а чем больше модуль сдвига и полярный момент, тем вал жестче.

Машиностроение

Эквивалентное напряжение вала при изгибе и кручении

$\sigma_{\text{экв}}=\sqrt{\sigma_b^2+3\tau_t^2}$

Эквивалентное напряжение по Мизесу объединяет нормальное напряжение изгиба и касательное напряжение кручения в одну величину для проверки пластического состояния.