Машиностроение / Детали машин

Эквивалентное напряжение вала при изгибе и кручении

Эквивалентное напряжение по Мизесу объединяет нормальное напряжение изгиба и касательное напряжение кручения в одну величину для проверки пластического состояния.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

\sigma_{\text{экв}}=\sqrt{\sigma_b^2+3\tau_t^2}

Схема напряжений Изгиб и кручение в опасной точке

На поверхности вала показаны нормальное напряжение от изгиба и касательное напряжение от кручения, объединяемые в sigma_eq.

Эквивалентное напряжение позволяет сравнить сложное состояние с одноосным пределом.

Обозначения

$\sigma_{\text{экв}}$: эквивалентное напряжение по Мизесу, Па или МПа
$\sigma_b$: нормальное напряжение от изгиба, Па или МПа
$\tau_t$: касательное напряжение от кручения, Па или МПа

Условия применения

Материал пластичный, а проверка ведется по критерию эквивалентного напряжения Мизеса.
Нормальное и касательное напряжения относятся к одной опасной точке сечения.
Расчет является статической проверкой; для усталости нужны амплитуды, средние напряжения и концентрации.

Ограничения

Для хрупких материалов может быть уместен другой критерий прочности.
Формула не учитывает концентрации напряжений и масштабные факторы, если их не включить в sigma и tau.
Для переменных нагрузок простое эквивалентное статическое напряжение не заменяет усталостный расчет.

Подробное объяснение

Реальный вал редко испытывает только одно простое напряжение. Крутящий момент создает касательные напряжения, а силы от колес, ремней и муфт создают изгибные нормальные напряжения. Материал в опасной точке чувствует их совместно. Чтобы сравнить это состояние с одноосным допускаемым напряжением, используют критерий эквивалентного напряжения.

Критерий Мизеса основан на энергии формоизменения и хорошо подходит для многих пластичных металлов при статической прочностной проверке. В частном случае совместного нормального напряжения и касательного напряжения он дает sigma_eq = sqrt(sigma^2 + 3 tau^2). Коэффициент 3 показывает, что касательное напряжение по этому критерию вносит вклад сильнее, чем простое сложение по модулю.

В расчетах валов сначала находят изгибающий момент и напряжение изгиба, затем крутящий момент и касательное напряжение, после чего объединяют их. Важно, чтобы обе величины относились к той же точке и тому же опасному сечению. Если максимум изгиба находится в одном месте, а максимум кручения в другом, проверяют несколько сечений.

Для усталости подход сложнее. Нужно разделить напряжения на средние и амплитудные составляющие, учесть концентрации, качество поверхности, размер, надежность и диаграмму выносливости. Поэтому статическое эквивалентное напряжение является необходимым, но не всегда достаточным расчетом для ответственного вращающегося вала.

Как пользоваться формулой

Найдите опасное сечение и расчетную точку на поверхности вала.
Рассчитайте напряжение изгиба в этой точке.
Рассчитайте касательное напряжение кручения в той же точке.
Подставьте оба напряжения в формулу Мизеса.
Сравните эквивалентное напряжение с допускаемым и отдельно проверьте усталость при переменной нагрузке.

Историческая справка

Критерии прочности для сложного напряженного состояния появились потому, что реальные детали машин редко работают при чистом растяжении. Инженерам нужно было понять, когда материал начнет пластически течь при сочетании нормальных и касательных напряжений. Критерий, известный как критерий фон Мизеса, связан с развитием теории пластичности и энергетических представлений о деформации. В XX веке он стал одним из основных критериев для пластичных металлов и широко вошел в расчеты валов, корпусов, рам и конечно-элементные программы. В деталях машин он часто используется как статическая проверка перед более подробным усталостным анализом. Его ценность в том, что сложное состояние сводится к одной сравнимой величине.

Историческая линия формулы

Формула связана с критерием текучести фон Мизеса и развитием теории пластичности. В прикладном расчете валов она используется как частный случай объединения изгибных и крутильных напряжений для пластичных материалов при статической проверке.

Пример

В опасном сечении вала напряжение изгиба равно 60 МПа, а касательное напряжение кручения 35 МПа. Эквивалентное напряжение sigma_eq = sqrt(60^2 + 3 * 35^2) = sqrt(3600 + 3675) = sqrt(7275) ≈ 85,3 МПа. Если допускаемое напряжение для выбранного материала и коэффициента запаса равно 120 МПа, статическая проверка проходит. Но если вал вращается при переменной нагрузке, нужно отдельно проверить усталость, потому что изгибное напряжение может быть циклическим. Также нужно убедиться, что оба напряжения посчитаны для одной и той же опасной точки.

Частая ошибка

Частая ошибка - складывать напряжения напрямую: 60 + 35 = 95 МПа. Критерий Мизеса объединяет вклады не линейно, а через квадраты и коэффициент 3 для касательной составляющей. Вторая ошибка - брать sigma из одного сечения, а tau из другого. Третья ошибка - применять критерий к хрупкому материалу без проверки, подходит ли он для выбранного разрушения. Также нельзя забывать коэффициенты концентрации у шпоночных пазов, галтелей и резьбовых участков.

Практика

Задачи с решением

Комбинированная проверка

Условие. sigma_b = 80 МПа, tau_t = 30 МПа. Найдите эквивалентное напряжение.

Решение. sigma_eq = sqrt(80^2 + 3 * 30^2) = sqrt(6400 + 2700) = sqrt(9100) ≈ 95,4 МПа.

Ответ. примерно 95,4 МПа

Проверка допуска

Условие. sigma_b = 45 МПа, tau_t = 20 МПа, допускаемое напряжение 70 МПа. Проходит ли статическая проверка?

Решение. sigma_eq = sqrt(45^2 + 3 * 20^2) = sqrt(2025 + 1200) = 56,8 МПа. Это меньше 70 МПа, значит по этой статической проверке проходит.

Ответ. да, 56,8 МПа меньше 70 МПа

Дополнительные источники

MIT OpenCourseWare 2.72 Elements of Mechanical Design, shaft and fatigue lecture topics
OpenStax University Physics Volume 1, stress concepts for elastic deformation
Shigley, Mechanical Engineering Design, distortion-energy failure theory

Связанные формулы

Машиностроение

Напряжение изгиба круглого вала

$\sigma_b=\frac{32M_b}{\pi d^3}$

Максимальное нормальное напряжение изгиба в сплошном круглом валу зависит от изгибающего момента и куба диаметра, как и напряжение кручения по размерной чувствительности.

Машиностроение

Касательное напряжение круглого вала при кручении

$\tau_{\max}=\frac{16M}{\pi d^3}$

Максимальное касательное напряжение в сплошном круглом валу при кручении зависит от крутящего момента и куба диаметра, поэтому диаметр сильно влияет на прочность.

Машиностроение

Растягивающее напряжение в болте

$\sigma_b=\frac{F}{A_s}$

Растягивающее напряжение в болте равно осевой силе, деленной на расчетную площадь резьбы или опасного сечения, а не на площадь по наружному диаметру.