Физика / Физические величины и измерения
Скорость радиоактивного распада через постоянную распада
Скорость радиоактивного распада, или активность, равна произведению постоянной распада на число еще не распавшихся ядер. Формула показывает, сколько распадов в среднем происходит за единицу времени.
Формула
Число нераспавшихся ядер умножается на вероятность распада одного ядра за секунду.
Когда N убывает, активность источника убывает вместе с ним.
Обозначения
- $A$
- активность, среднее число распадов за единицу времени, Бк = с^{-1}
- $\lambda$
- постоянная радиоактивного распада, с^{-1}
- $N$
- число нераспавшихся радиоактивных ядер, шт.
Условия применения
- Образец содержит один радионуклид или рассматривается вклад одного радионуклида отдельно.
- Постоянная распада не зависит от времени, температуры и химического состояния в пределах обычных ядерных задач.
- Активность понимается как средняя статистическая величина, а не как точное число событий в каждом малом интервале.
Ограничения
- Для смеси изотопов активности складывают по каждому радионуклиду отдельно: A=λN нельзя применять к суммарному N без разложения состава.
- При очень малом числе ядер реальные интервалы между распадами сильно флуктуируют, поэтому формула описывает среднее значение.
- Формула не учитывает геометрию детектора, самопоглощение и эффективность регистрации, если нужно найти число зарегистрированных импульсов.
Подробное объяснение
Активность показывает темп радиоактивного процесса: сколько ядер в среднем распадается за одну секунду. Чем больше нераспавшихся ядер N и чем больше вероятность распада одного ядра за единицу времени λ, тем больше общее число распадов.
Идея формулы статистическая. Для одного ядра λ задает среднюю интенсивность распада, а для N независимых ядер средние вклады складываются. Поэтому активность пропорциональна числу еще существующих ядер, а не исходному числу в момент изготовления препарата.
Со временем N уменьшается, следовательно уменьшается и A. Это важное следствие: активность не постоянна для радиоактивного образца, если период полураспада сравним со временем наблюдения. При каждом периоде полураспада и число ядер, и активность уменьшаются в два раза.
В практических задачах формула связывает микроскопическую модель с измеряемой величиной. Счетчик может фиксировать импульсы, но для перехода к активности нужно учесть фон, долю испускаемых частиц данного типа, геометрию и эффективность прибора.
Перед подстановкой полезно спросить, о чем именно идет речь: об активности источника, о числе зарегистрированных частиц или о поглощенной дозе. Эти величины связаны, но не равны друг другу, поэтому одна короткая формула работает только после правильного выбора физического смысла.
Как пользоваться формулой
- Уточните, что рассматривается один радионуклид, а N относится к нераспавшимся ядрам.
- Переведите постоянную распада в обратные секунды, если активность нужна в беккерелях.
- Подставьте N и λ в произведение A=λN без округления промежуточных степеней десяти.
- Проверьте размерность: активность должна получиться в с^{-1} или Бк.
- Если речь о счетчике, отдельно учтите эффективность регистрации и фон.
Историческая справка
Понятие активности выросло из исследований радиоактивности на рубеже XIX и XX веков. После открытия Беккерелем самопроизвольного излучения и работ Марии и Пьера Кюри стало ясно, что радиоактивные вещества испускают излучение с характерной интенсивностью. Резерфорд и Содди связали это с превращением атомов и ввели экспоненциальный закон распада. Современная запись A=λN является следствием этого закона и статистической картины независимых ядерных событий. В XX веке активность стала измеряемой величиной в радиохимии, ядерной физике, медицине и радиационной безопасности. Единица беккерель была названа в честь Анри Беккереля и закрепила практическую трактовку активности как числа распадов в секунду.
Историческая линия формулы
Формулу корректно связывать не с одним автором, а с развитием теории радиоактивного распада. Главную роль сыграли Беккерель, супруги Кюри, Резерфорд и Содди; сама запись A=λN следует из экспоненциального закона распада и современной системы единиц.
Пример
Дано: в препарате находится N=3,0*10^12 ядер радионуклида, а постоянная распада равна λ=2,0*10^{-6} с^{-1}. Нужно найти активность. Подставляем в формулу: A=λN=2,0*10^{-6}*3,0*10^12=6,0*10^6 с^{-1}. Значит, активность равна 6,0*10^6 Бк, то есть в среднем происходит около шести миллионов распадов в секунду. Проверка единиц проста: с^{-1} умножается на безразмерное число ядер, поэтому результат имеет размерность с^{-1}. Число выглядит большим, но это нормально для макроскопического количества атомных ядер: каждое ядро распадается редко, зато ядер очень много.
Частая ошибка
Частая ошибка - считать A числом всех ядер, а не числом распадов в секунду. Еще путают постоянную распада λ с периодом полураспада: если дан T_{1/2}, сначала находят λ=ln2/T_{1/2}. В задачах с детектором нельзя принимать зарегистрированные импульсы за активность без учета эффективности и фона. Также важно следить за единицами времени: если λ дана в сутках^{-1}, а ответ нужен в беккерелях, ее нужно перевести в с^{-1}.
Практика
Задачи с решением
Активность препарата
Условие. N=5,0*10^10, λ=4,0*10^{-5} с^{-1}. Найдите A.
Решение. A=λN=4,0*10^{-5}*5,0*10^10=2,0*10^6 Бк.
Ответ. 2,0*10^6 Бк
Число ядер по активности
Условие. Активность источника 8,0*10^4 Бк, λ=2,0*10^{-6} с^{-1}. Найдите N.
Решение. N=A/λ=8,0*10^4/(2,0*10^{-6})=4,0*10^10.
Ответ. 4,0*10^10 ядер
Калькулятор
Посчитать по формуле
Дополнительные источники
- Э. Резерфорд, Ф. Содди. Работы о радиоактивных превращениях, 1902-1903
- Д. В. Сивухин. Общий курс физики. Атомная и ядерная физика
- Б. М. Яворский, А. А. Детлаф. Справочник по физике
Связанные формулы
Физика
Период полураспада и постоянная распада
Период полураспада равен ln2, деленному на постоянную распада. Он показывает время, за которое в среднем остается половина исходного числа радиоактивных ядер.
Физика
Среднее время жизни радиоактивного ядра
Среднее время жизни радиоактивного ядра равно величине, обратной постоянной распада. Оно показывает характерный средний срок существования ядра до распада в статистической модели.
Физика
Энергия фотона через частоту и длину волны
Энергия фотона пропорциональна частоте излучения и обратно пропорциональна длине волны. Формула связывает волновые характеристики света с квантовой энергией одной частицы излучения.