Математика

Численный поиск корней

Итерационное приближение корня скалярного уравнения.

Как выбрать подходящий материал

Бисекция требует смены знака на отрезке и даёт контролируемое сужение. Ньютон использует производную и нуждается в проверке старта.
Метод секущих обходит явное вычисление производной, но не наследует гарантии бисекции без дополнительных условий.

3 формулы

Формулы темы

Метод бисекции: корень и гарантированная точность

Метод бисекции ищет корень непрерывной функции делением отрезка пополам. Разные знаки на концах дают гарантию существования корня, а длина отрезка — оценку ошибки.

$c=\frac{a+b}{2},\qquad |c-r|\leq\frac{b-a}{2}$

Метод Ньютона: приближение корня по касательной

Метод Ньютона заменяет функцию касательной в текущем приближении и берёт нуль этой прямой как следующий шаг. Вблизи простого корня сходимость может быть квадратичной.

$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$

Метод секущих: поиск корня без вычисления производной

Метод секущих строит прямую по двум последним точкам графика и использует её пересечение с осью для нового приближения корня. Производная заменяется разностным наклоном.

$x_{k+1}=x_k-f(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}$