Математика / Начала анализа
Метод Ньютона: приближение корня по касательной
Метод Ньютона заменяет функцию касательной в текущем приближении и берёт нуль этой прямой как следующий шаг. Вблизи простого корня сходимость может быть квадратичной.
Формула
Быстрое уменьшение невязки здесь связано с удачным стартом у простого корня.
Обозначения
- $x_k$
- текущее приближение, k — номер шага, единица аргумента
- $x_{k+1}$
- следующее приближение, единица аргумента
- $f(x_k)$
- значение функции в текущей точке, единица функции
- $f'(x_k)$
- производная функции в текущей точке, единица функции / единица аргумента
Условия применения
Для выполнения шага функция должна быть дифференцируема в текущей точке, а производная — ненулевая. Локальная квадратичная сходимость требует достаточно гладкой функции, простого корня и достаточно близкого старта. Эти условия нельзя заменить произвольным выбором начальной точки.
Ограничения
При малой производной шаг может оказаться очень большим и выйти из области определения. Метод может сходиться к другому корню, зациклиться или расходиться. Для кратного корня обычная квадратичная скорость теряется. Малый шаг из-за округления не гарантирует решения исходного уравнения.
Подробное объяснение
В текущей точке известны высота графика и его наклон. Прямая с той же высотой и наклоном — касательная — служит локальным приближением функции. Решить линейное уравнение касательной намного проще, чем исходное нелинейное, поэтому её пересечение с осью берут как новый аргумент.
Уравнение касательной имеет вид y=f(xₖ)+f′(xₖ)(x−xₖ). Приравнивая y нулю и деля на ненулевую производную, получаем шаг Ньютона. Дробь f/f′ имеет единицы аргумента: из текущего положения вычитается поправка, а не величина с другой размерностью.
Если начальная точка близка к простому корню, наклон там не исчезает, а отклонение функции от касательной мало. Для достаточно гладкой функции ошибка следующего шага пропорциональна квадрату предыдущей ошибки. Это локальное свойство, а не обещание быстрой сходимости из любой точки.
Для уравнения x²−a=0 шаг превращается в среднее xₖ и a/xₖ. При положительном старте он даёт удобный алгоритм квадратного корня. Однако старт xₖ=0 недопустим: производная 2xₖ равна нулю, и поправка не определена.
Практический контроль включает невязку, величину шага, допустимую область и ограничение числа итераций. Если есть знакопеременный отрезок, подозрительный шаг можно заменить бисекцией. Такое сочетание сохраняет надёжность локализации, используя быстрый метод там, где его модель удачна.
Как пользоваться формулой
- Выберите начальную точку в области определения и вычислите производную; проверьте, что она не равна нулю.
- Рассчитайте поправку как значение функции, делённое на производную в той же точке, сохраняя знак обоих чисел.
- Вычтите поправку из текущего аргумента и проверьте, что новая точка остаётся в допустимой области функции.
- Повторяйте шаг с новой производной; проверяйте невязку и изменение аргумента, а не только число итераций.
Историческая справка
Название связывает метод с Исааком Ньютоном и развитием приближённого решения уравнений в XVII веке. Современная запись через производную удобна для анализа касательной, однако исторические вычислительные схемы и сегодняшняя формула не обязаны совпадать по обозначениям и форме изложения. Поэтому учебное название не означает, что все элементы современной программной процедуры были представлены одним автором в готовом виде. В нынешнем численном анализе метод рассматривается как локальная линеаризация: это позволяет переносить идею с одного уравнения на системы, заменяя производную матрицей Якоби. NIST DLMF и учебник Fundamentals of Numerical Computation отделяют формулу итерации от условий её сходимости. Контроль малого шага, округления и неудачного старта принадлежит современной вычислительной практике, а не самому геометрическому рисунку касательной.
Историческая линия формулы
Название «метод Ньютона» обозначает традицию решения уравнений через последовательное линейное приближение. Здесь используется современная производная и нумерация итераций; историческое имя не служит доказательством сходимости, которую необходимо проверять отдельно для функции и старта.
Пример
Решим x² − 2 = 0 методом Ньютона со стартом x₀ = 1,5. Функция f(x) = x² − 2, производная f′(x) = 2x. В первой точке f = 0,25, f′ = 3, поэтому x₁ = 1,5 − 0,25/3 = 17/12 ≈ 1,4166667. Следующий шаг удобнее записать как x₂ = (x₁ + 2/x₁)/2 = (17/12 + 24/17)/2 = 577/408 ≈ 1,414215686. Невязка x₂² − 2 равна 1/166464 ≈ 0,0000060073. Независимая проверка сравнением с √2 показывает ошибку около 0,000002124. Это меньше ошибки после первого шага примерно в тысячу раз. Результат безразмерный; полученная точка всё ещё приближение, потому что невязка ненулевая. Дроби позволили не накапливать округление между двумя итерациями.
Частая ошибка
Не вычисляйте производную в предыдущей точке, если заявлен обычный метод Ньютона. Не теряйте минус перед поправкой. Не делите на нулевой или практически нулевой наклон. Не называйте квадратичную сходимость глобальной гарантией. При нескольких корнях проверяйте, какой именно корень получился.
Практика
Задачи с решением
Квадратный корень из девяти
Условие. Сделайте один шаг для x² − 9 = 0 со стартом x₀ = 4.
Решение. f(4) = 7, f′(4) = 8. Получаем x₁ = 4 − 7/8 = 25/8 = 3,125. Невязка 3,125² − 9 = 0,765625, точка ближе к положительному корню 3.
Ответ. 3,125.
Кубический корень
Условие. Для x³ − 2 = 0 выполните первый шаг из x₀ = 1.
Решение. f(1) = − 1, производная 3x² в точке 1 равна 3. Поэтому x₁ = 1 − ( − 1)/3 = 4/3 ≈ 1,333333. Точный корень пока не достигнут.
Ответ. 4/3≈1,333333.
Дополнительные источники
- https://dlmf.nist.gov/3.8
- https://fncbook.com/newton/
- https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Raphson/
Связанные формулы
Математика
Метод бисекции: корень и гарантированная точность
Метод бисекции ищет корень непрерывной функции делением отрезка пополам. Разные знаки на концах дают гарантию существования корня, а длина отрезка — оценку ошибки.
Математика
Метод секущих: поиск корня без вычисления производной
Метод секущих строит прямую по двум последним точкам графика и использует её пересечение с осью для нового приближения корня. Производная заменяется разностным наклоном.
Математика
Уравнение касательной к графику функции
Касательная к графику функции в точке x0 имеет угловой коэффициент f'(x0) и проходит через точку графика (x0; f(x0)) как обычная прямая.