Линейная алгебра
Диагональные матрицы
Матрицы с ненулевыми элементами только на главной диагонали и вычисления с ними.
4 формулы
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Диагонализация матрицы 2x2 | $A=P\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}P^{-1}$ | Матрицы, определители | Матрица 2x2 диагонализируется, если для нее можно найти два линейно независимых собственных вектора. При двух различных собственных значениях это выполняется автоматически. |
| Степень диагонализируемой матрицы | $A^k=PD^kP^{-1},\quad D^k=\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k)$ | Матрицы, определители | Если A=PDP^{-1}, то степень A^k вычисляется как PD^kP^{-1}. Диагональную матрицу D возводят в степень по диагональным элементам. |
| Функция от диагонализируемой матрицы | $f(A)=P f(D) P^{-1},\quad f(D)=\operatorname{diag}(f(\lambda_1),\ldots,f(\lambda_n))$ | Матрицы, определители | Если A диагонализируема, функцию от матрицы можно вычислить через функцию от ее собственных значений. Для диагональной D функция применяется к каждому диагональному элементу. |
| Матрица диагонализируемого оператора в собственном базисе | $[T]_B=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ | Матрицы, определители | Если B - базис из собственных векторов оператора T, то матрица T в этом базисе диагональна. На диагонали стоят собственные значения, соответствующие векторам базиса. |