Линейная алгебра
Собственный базис
Базисы из собственных векторов и координатная запись операторов в таком базисе.
4 формулы
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Диагонализация матрицы | $A=PDP^{-1}$ | Матрицы, определители | Диагонализация представляет квадратную матрицу A в виде A=PDP^{-1}, где D диагональна, а столбцы P являются собственными векторами A. Это переводит действие оператора в собственный базис. |
| Базис из собственных векторов | $B=(v_1,\ldots,v_n),\quad Av_i=\lambda_i v_i$ | Матрицы, определители | Базис из собственных векторов - это базис пространства, каждый вектор которого является собственным для оператора A. В таком базисе матрица оператора становится диагональной. |
| Диагонализируемость при различных собственных значениях | $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\text{ различны}\Longrightarrow A\text{ диагонализируема}$ | Матрицы, определители | Если матрица n x n имеет n различных собственных значений, то она диагонализируема. Разным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы. |
| Матрица диагонализируемого оператора в собственном базисе | $[T]_B=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ | Матрицы, определители | Если B - базис из собственных векторов оператора T, то матрица T в этом базисе диагональна. На диагонали стоят собственные значения, соответствующие векторам базиса. |