Численные методы
Численная устойчивость
Устойчивость алгоритма к округлениям, ошибкам данных и накоплению погрешности.
4 формулы
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Число обусловленности для задачи МНК | $\kappa_2(A^\top A)=\frac{\sigma_{\max}^2}{\sigma_{\min}^2}=\kappa_2(A)^2.$ | Матрицы, определители | При переходе к нормальным уравнениям число обусловленности фактически возводится в квадрат, поэтому ошибки округления и шум в данных могут заметно усилиться. |
| QR-разложение для задачи МНК | $A=QR,\quad Q^\top Q=I,\quad \|Ax-b\|_2^2=\|Rx-Q^\top b\|_2^2+\|Q_\perp^\top b\|_2^2.$ | Матрицы, определители | QR-разложение решает задачу МНК без формирования A^T A: если A=QR, то параметры находятся из треугольной системы R x = Q^T b. |
| Неявная трапециевидная схема Кранка — Николсон для ОДУ | $y_{n+1}=y_n+\frac h2[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]$ | Начала анализа | Неявная трапециевидная схема усредняет производные на концах шага, включая неизвестный новый уровень. Она имеет второй порядок и A-устойчивость, но при крупном шаге затухание может сопровождаться сменой знака. |
| Метод Адамса — Башфорта второго порядка для ОДУ | $y_{n+1}=y_n+h\left(\frac32 f_n-\frac12 f_{n-1}\right)$ | Начала анализа | Двухшаговый метод Адамса — Башфорта использует два уже вычисленных наклона и получает явное приближение второго порядка с одним новым вызовом правой части. |