Уровень
Школьная программа, страница 6
Базовые формулы школьного курса с объяснениями и примерами.
657 формул
Таблица формул
Показаны 301-360 из 657. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Метод сложения для системы линейных уравнений | $a_1x + b_1y = c_1,\quad a_2x + b_2y = c_2$ | Алгебра | Метод сложения решает систему линейных уравнений за счет сложения или вычитания уравнений так, чтобы одна переменная исчезла. |
| Линейное уравнение вида ax + b = c | $ax + b = c,\quad x = \frac{c - b}{a},\quad a \ne 0$ | Алгебра | Линейное уравнение вида ax + b = c решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при неизвестной. Это основной шаблон для большинства уравнений 7 класса. |
| Равносильные преобразования уравнения | $A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$ | Алгебра | Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент. |
| Прямая пропорциональность | $y = kx$ | Функции и графики | Прямая пропорциональность описывает зависимость, при которой одна величина равна другой величине, умноженной на постоянный коэффициент. Ее график проходит через начало координат. |
| График линейной функции по двум точкам | $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad y - y_1 = k(x - x_1)$ | Функции и графики | Если известны две разные точки линейной функции, можно найти угловой коэффициент и построить прямую. Через две различные точки проходит единственная прямая. |
| Деление одночленов | $\frac{a x^m}{b x^n}=\frac{a}{b}x^{m-n},\quad b\ne0,\ x\ne0$ | Алгебра | Деление одночленов выполняют как деление коэффициентов и вычитание показателей одинаковых буквенных множителей. Это правило продолжает свойства степеней. |
| Коэффициент пропорциональности | $k=\frac{y}{x},\quad x\ne0$ | Функции и графики | Коэффициент пропорциональности показывает, во сколько раз зависимая величина y отличается от ненулевой величины x в модели y = kx. |
| Свободный член линейной функции | $b=y-kx$ | Функции и графики | Свободный член b в линейной функции y = kx + b можно найти по известной точке графика и угловому коэффициенту. Она уточняет, какие величины входят в запись b=y-kx и какой результат получают после подстановки. |
| Уравнение прямой через точку и угловой коэффициент | $y-y_1=k(x-x_1)$ | Функции и графики | Если известны точка прямой и ее угловой коэффициент, уравнение можно записать в виде y - y1 = k(x - x1). Она уточняет, какие величины входят в запись y-y_1=k(x-x_1) и какой результат получают после подстановки. |
| Сложение многочленов | $(a_nx^n+\dots+a_0)+(b_nx^n+\dots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+\dots+(a_0+b_0)$ | Алгебра | При сложении многочленов складывают подобные члены: коэффициенты при одинаковых степенях переменной объединяются. Она уточняет, какие величины входят в запись (a_nx^n+\dots+a_0)+(b_nx^n+\dots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+\dots+(a_0+b_0) и какой результат получают после подстановки. |
| Вычитание многочленов | $P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x))$ | Алгебра | При вычитании многочлена нужно изменить знаки всех его членов, а затем привести подобные слагаемые. Она уточняет, какие величины входят в запись P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x)) и какой результат получают после подстановки. |
| Углы при параллельных прямых и секущей | $a\parallel b\Rightarrow \alpha=\beta,\quad \gamma+\delta=180^\circ$ | Геометрия | При параллельных прямых и секущей накрест лежащие и соответственные углы равны, а односторонние углы в сумме дают 180 градусов. |
| Признак параллельности прямых по углам | $\alpha=\beta\Rightarrow a\parallel b,\quad \gamma+\delta=180^\circ\Rightarrow a\parallel b$ | Геометрия | Если при пересечении двух прямых секущей равны накрест лежащие или соответственные углы, прямые параллельны; то же верно при сумме односторонних углов 180 градусов. |
| Неравенство треугольника | $a+b>c,\quad a+c>b,\quad b+c>a$ | Геометрия | В любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны. Это условие проверяет, можно ли построить треугольник по трем отрезкам. |
| Сумма острых углов прямоугольного треугольника | $\alpha+\beta=90^\circ$ | Геометрия | В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают 90 градусов, потому что третий угол уже равен 90 градусам. Она уточняет, какие величины входят в запись \alpha+\beta=90^\circ и какой результат получают после подстановки. |
| Периметр равнобедренного треугольника | $P=2a+b$ | Геометрия | Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне плюс основание. Формула использует равенство двух боковых сторон. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Нулевая степень ненулевого числа | $a^0=1,\quad a\ne0$ | Алгебра | Нулевая степень любого ненулевого числа равна единице. Условие a не равно нулю обязательно: выражение 0^0 в школьной алгебре не считают определенным. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Одночлен в стандартном виде | $c\,x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_k^{\alpha_k}$ | Алгебра | Стандартный вид одночлена записывает числовой коэффициент первым, а одинаковые буквенные множители объединяет в степени с натуральными показателями. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Коэффициент одночлена | $A=c\,x_1^{\alpha_1}\cdots x_k^{\alpha_k}\quad\Rightarrow\quad c\text{ — коэффициент}$ | Алгебра | Коэффициент одночлена — это числовой множитель в его стандартном виде. Он показывает, во сколько раз взята буквенная часть, включая знак выражения. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Угол между биссектрисами смежных углов | $\frac{\alpha}{2}+\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ$ | Геометрия | Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны. Их угол равен 90 градусам, потому что смежные углы в сумме дают 180 градусов. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Линейная функция по коэффициентам k и b | $y=kx+b$ | Функции и графики | Линейная функция y=kx+b задает прямую: коэффициент k отвечает за наклон графика, а b показывает точку пересечения с осью Oy. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Точка пересечения двух прямых | $k_1x+b_1=k_2x+b_2,\quad x=\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2}$ | Функции и графики | Точку пересечения двух прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2 находят приравниванием правых частей. Абсцисса равна (b2-b1)/(k1-k2), если k1 не равно k2. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Первый признак равенства треугольников | $AB=A_1B_1,\ AC=A_1C_1,\ \angle A=\angle A_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$ | Геометрия | Первый признак равенства треугольников утверждает: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого, треугольники равны. |
| Второй признак равенства треугольников | $AB=A_1B_1,\ \angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$ | Геометрия | Второй признак равенства треугольников использует сторону и два прилежащих к ней угла. Такой набор однозначно задает треугольник. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Третий признак равенства треугольников | $AB=A_1B_1,\ BC=B_1C_1,\ AC=A_1C_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$ | Геометрия | Третий признак равенства треугольников утверждает: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, треугольники равны. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Значение линейной функции по заданному аргументу | $y_0 = kx_0 + b$ | Функции и графики | Формула позволяет найти значение линейной функции y = kx + b в конкретной точке: вместо x подставляют заданный аргумент x0 и выполняют обычные вычисления. Она связывает з. |
| Аргумент линейной функции по известному значению | $x = \frac{y-b}{k},\quad k \ne 0$ | Функции и графики | Если значение линейной функции y = kx + b известно, аргумент находят обратным ходом: вычитают свободный член и делят результат на ненулевой коэффициент k. Она связывает з. |
| Нуль линейной функции y = kx + b | $x_0 = -\frac{b}{k},\quad k \ne 0$ | Функции и графики | Нуль линейной функции - это такое значение аргумента, при котором y становится равным нулю. Для y = kx + b его находят по формуле x0 = -b/k. Она связывает запись функции. |
| Пересечение линейной функции с осью Oy | $x=0,\quad y=b$ | Функции и графики | График линейной функции y = kx + b пересекает ось Oy в точке с абсциссой 0 и ординатой b. Свободный член сразу показывает высоту этой точки. Она связывает запись функции. |
| Разность значений линейной функции | $y_2-y_1=k(x_2-x_1)$ | Функции и графики | У линейной функции изменение значения равно коэффициенту k, умноженному на изменение аргумента. Свободный член при вычитании исчезает. Она связывает запись функции или ур. |
| Биссектриса угла и половина градусной меры | $\beta=\frac{\alpha}{2}$ | Геометрия | Биссектриса делит угол на два равных угла. Если весь угол равен alpha, каждый из получившихся углов равен alpha/2. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин. |
| Условие параллельности графиков линейных функций | $k_1=k_2,\quad b_1\ne b_2$ | Функции и графики | Графики двух линейных функций y = k1x + b1 и y = k2x + b2 параллельны и не совпадают, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны. Она связывает запись. |
| Степень числа минус один | $(-1)^n=\begin{cases}1, & n\text{ четное},\\-1, & n\text{ нечетное}.\end{cases}$ | Алгебра | Степень числа -1 зависит от четности показателя: при четном показателе результат равен 1, при нечетном - остается -1. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения. |
| Распределительный закон умножения для скобок | $a(b+c)=ab+ac$ | Алгебра | При умножении числа или выражения на сумму множитель умножают на каждое слагаемое. Это основа раскрытия скобок и вынесения общего множителя. Она показывает, какие части в. |
| Абсцисса точки линейного уравнения с двумя переменными | $x=\frac{c-by}{a},\quad a\ne0$ | Алгебра | Если точка лежит на прямой ax + by = c и известна ее ордината y, абсциссу x находят вычитанием by из c и делением на ненулевой коэффициент a. Она связывает запись функции. |
| Произведение множителей вида x + a и x + b | $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$ | Алгебра | Произведение двух линейных множителей с одинаковым первым членом раскрывается в квадратный трехчлен: коэффициент при x равен сумме a и b, свободный член - их произведению. |
| Ордината точки линейного уравнения с двумя переменными | $y=\frac{c-ax}{b},\quad b\ne0$ | Алгебра | Если точка удовлетворяет уравнению ax + by = c и известна ее абсцисса x, ординату y находят по формуле y = (c - ax)/b. Она связывает запись функции или уравнения с координатами точки и помогает проверить результат обратной подстановкой. |
| Угол при вершине равнобедренного треугольника | $\beta=180^\circ-2\alpha$ | Геометрия | Если известен угол при основании равнобедренного треугольника, угол при вершине находят как 180 градусов минус удвоенный угол при основании. Она помогает не подменять гео. |
| Угол равностороннего треугольника | $\alpha=60^\circ$ | Геометрия | В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому все внутренние углы равны и каждый из них составляет 60 градусов. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин. |
| Периметр равностороннего треугольника | $P=3a$ | Геометрия | Периметр равностороннего треугольника равен утроенной стороне, потому что все три его стороны имеют одну и ту же длину. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин. |
| Коэффициент произведения одночленов | $(c_1M_1)(c_2M_2)=c_1c_2\,M_1M_2$ | Алгебра | При умножении одночленов числовые коэффициенты перемножаются отдельно, а буквенные множители объединяются по правилам степеней. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения. |
| Степень нуля с натуральным показателем | $0^n=0,\quad n\in\mathbb{N}$ | Алгебра | Ноль в любой натуральной степени равен нулю, потому что произведение содержит хотя бы один нулевой множитель. Она показывает, какие части выражения преобразуются, и помогает не терять знаки, степени и ограничения. |
| Третий угол треугольника | $\gamma=180^\circ-\alpha-\beta$ | Геометрия | Если известны два угла треугольника, третий находят вычитанием их суммы из 180 градусов. Формула следует из теоремы о сумме углов треугольника. Она помогает не подменять. |
| Угол при основании равнобедренного треугольника | $\alpha=\frac{180^\circ-\beta}{2}$ | Геометрия | В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если известен угол при вершине, каждый угол при основании равен половине разности 180° и этого угла. Она помогает. |
| Внутренние односторонние углы при параллельных прямых | $\alpha+\beta=180^\circ$ | Геометрия | Если две параллельные прямые пересечены секущей, внутренние односторонние углы в сумме дают 180 градусов. Они дополняют друг друга до развернутого угла. Она помогает не п. |
| Степень частного двух выражений | $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n},\quad b\ne0$ | Алгебра | Степень частного показывает, что при возведении дроби в натуральную степень отдельно возводят в эту степень числитель и знаменатель. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Квадрат суммы двух выражений | $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ | Алгебра | Квадрат суммы равен квадрату первого выражения, удвоенному произведению выражений и квадрату второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Квадрат разности двух выражений | $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ | Алгебра | Квадрат разности равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение выражений плюс квадрат второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Разность квадратов двух выражений | $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ | Алгебра | Разность квадратов раскладывается в произведение разности выражений и их суммы. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Куб суммы двух выражений | $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ | Алгебра | Куб суммы раскрывается в четыре слагаемых: куб первого выражения, два смешанных члена с коэффициентом 3 и куб второго выражения. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Куб разности двух выражений | $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ | Алгебра | Куб разности раскрывается в четыре слагаемых с чередующимися знаками: плюс, минус, плюс, минус. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Сумма кубов двух выражений | $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ | Алгебра | Сумма кубов раскладывается на сумму оснований и неполный квадрат разности этих оснований. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Разность кубов двух выражений | $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ | Алгебра | Разность кубов раскладывается на разность оснований и неполный квадрат суммы этих оснований. Она помогает распознать структуру выражения и выбрать верное алгебраическое преобразование. |
| Координата середины отрезка на прямой | $x_{\text{серед}}=\frac{x_1+x_2}{2}$ | Алгебра | Координата середины отрезка на координатной прямой равна среднему арифметическому координат его концов. Она фиксирует, какую геометрическую величину надо считать и какие данные складывать или усреднять. |
| Периметр многоугольника через стороны | $P=a_1+a_2+\dots+a_n$ | Геометрия | Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон, взятых в одном порядке обхода фигуры. Она фиксирует, какую геометрическую величину надо считать и какие данные складывать или усреднять. |
| Арифметический квадратный корень | $\sqrt{a}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=a,\;x\ge 0,\;a\ge 0$ | Алгебра | Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a - это неотрицательное число, квадрат которого равен a; определение помогает отличать значение корня от решений уравнения с квадратом. |
| Квадрат арифметического квадратного корня | $(\sqrt{a})^2=a,\quad a\ge 0$ | Алгебра | Квадрат арифметического квадратного корня возвращает подкоренное выражение, если оно неотрицательно; правило нужно для упрощения радикалов и контроля области допустимых значений. |
| Квадратный корень из частного | $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\quad a\ge 0,\;b>0$ | Алгебра | Квадратный корень из частного равен частному квадратных корней, если числитель неотрицателен, а знаменатель положителен. |
| Вынесение множителя из-под квадратного корня | $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b},\quad b\ge 0$ | Алгебра | Вынесение множителя из-под корня отделяет полный квадрат внутри подкоренного выражения и превращает его в множитель перед корнем. |
| Внесение множителя под квадратный корень | $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\quad\text{при }a\ge 0,\;b\ge 0$ | Алгебра | Внесение множителя под корень заменяет множитель перед радикалом его квадратом под знаком корня: например, 3\sqrt{5}=\sqrt{45}. |