Физика / Геометрическая оптика
Формула тонкой линзы: расстояния и знаки
Формула тонкой линзы связывает положение предмета и изображения с фокусным расстоянием. Знак расстояния до изображения позволяет отличить действительное изображение от мнимого.
Формула
Положение изображения определяют пересечением прошедших лучей или их продолжений. Положительное f означает действительное изображение, отрицательное — мнимое.
Для каждого построения сохраняйте одну конвенцию знаков.
Обозначения
- $F$
- фокусное расстояние: положительное у собирающей линзы, отрицательное у рассеивающей, м
- $d$
- расстояние от реального предмета до оптического центра линзы; здесь d > 0, м
- $f$
- расстояние до изображения: f > 0 для действительного, f < 0 для мнимого, м
Условия применения
- Рассматривается тонкая линза в воздухе: ее толщиной по сравнению с расстояниями в задаче пренебрегают, лучи идут близко к главной оптической оси.
- Предмет действительный, d > 0; собирающей линзе соответствует F > 0, рассеивающей F < 0. Расстояние f положительно для действительного изображения и отрицательно для мнимого.
Ограничения
- Толстый объектив и систему нескольких разделенных линз нельзя без обоснования заменить одной тонкой линзой с тем же центром отсчета; необходимы дополнительные параметры.
- При d = F у собирающей линзы вышедшие лучи параллельны: конечного расстояния f нет. Нулевые d, F и f в запись с обратными величинами не подставляют.
Подробное объяснение
Расстояние до предмета и расстояние до изображения — разные величины. Фокусное расстояние характеризует саму линзу, а положение изображения меняется, когда передвигают предмет. Все три расстояния отсчитывают от оптического центра в принятой модели тонкой линзы.
Формула согласуется с построением двумя лучами: луч через центр почти не отклоняется, а луч, параллельный главной оси, после собирающей линзы проходит через фокус. Подобие треугольников связывает высоты и расстояния; итоговая связь записывается через обратные расстояния.
Чтобы найти изображение, вычтем 1/d: 1/f = 1/F − 1/d = (d − F)/(Fd). Значит f = Fd/(d − F). Если собирающая линза имеет F > 0 и предмет расположен дальше фокуса, знаменатель положителен и изображение действительное. Его можно получить на экране за линзой.
Если 0 < d < F, знаменатель отрицателен: f < 0. Лучи после линзы расходятся, но их продолжения пересекаются со стороны предмета. Это мнимое изображение, которое видно при рассматривании через лупу. Отрицательный ответ описывает положение, а не ошибку вычисления.
Обратные выражения: F = df/(d + f), d = Ff/(f − F). Каждое требует ненулевого знаменателя и согласованных знаков. Для рассеивающей линзы при действительном предмете F < 0 и f < 0. Проверять результат лучше одновременно формулой и рисунком лучей.
Как пользоваться формулой
- Укажите тип линзы и подпишите F со знаком: плюс для собирающей, минус для рассеивающей линзы в воздухе.
- Отметьте реальный предмет, расстояние d и сторону изображения; для мнимого изображения используйте отрицательное f.
- Выберите нужную неизвестную и выразите ее из равенства обратных расстояний, проверив, что знаменатель не равен нулю.
- Переведите исходные расстояния в одну единицу длины, затем подставьте значения со всеми сохраненными знаками.
- Проверьте результат лучевой схемой: возможно ли изображение на экране и с какой стороны линзы оно должно находиться.
Историческая справка
Количественная теория линз формировалась вместе с развитием оптических приборов. В начале XVII века нужно было объяснить, почему сочетание стекол в зрительной трубе создает изображение и как его положение зависит от расположения линз. Иоганн Кеплер в книге «Диоптрика» 1611 года исследовал геометрическую оптику и схему телескопа с двумя собирающими линзами.
Современная школьная запись использует упрощенную модель: толщиной линзы пренебрегают, а лучи рассматривают около оси. Это позволяет описывать изображение несколькими расстояниями, не рассчитывая преломление каждого луча на обеих поверхностях. Знаковая запись объединяет реальные и мнимые изображения в одном уравнении.
В разных учебниках буквы и правила знаков могут отличаться. Поэтому историческое развитие оптики не дает основания смешивать формулы из разных соглашений: при решении сначала выбирают определения расстояний, а затем последовательно используют их.
Историческая линия формулы
Связь относится к геометрической оптике и модели тонкой линзы. Работы Кеплера начала XVII века важны для теории оптических приборов, однако современное уравнение со школьными буквами и правилами знаков не следует объявлять дословной формулой одного автора.
Пример
Предмет стоит в 30 см перед собирающей линзой с фокусным расстоянием 10 см. Нужно определить, где поставить экран. Дано: d = 0,30 м, F = 0,10 м; найти f. Из 1/f = 1/F − 1/d получаем f = Fd/(d − F). Подстановка: f = 0,10 × 0,30/(0,30 − 0,10) = 0,03/0,20 = 0,15 м. Ответ: экран нужно поставить на расстоянии 15 см за линзой. Проверка: 1/0,10 = 1/0,30 + 1/0,15 = 10 м⁻¹. Предмет находится дальше двойного фокуса, поэтому действительное изображение расположено между фокусом и двойным фокусом: 10 см < 15 см < 20 см. В дроби метр в квадрате делится на метр, результат имеет размерность длины.
Частая ошибка
Не считайте все расстояния положительными: для мнимого изображения f отрицательно в выбранной здесь конвенции. Не путайте F с f: первая буква означает свойство линзы, вторая — положение изображения. Не складывайте расстояния вместо обратных величин. При d = F не записывайте f = 0: изображение не находится на конечном расстоянии, потому что пучок после линзы параллелен.
Практика
Задачи с решением
Предмет внутри фокуса
Условие. Собирающая линза имеет F = 12 см; предмет расположен на d = 8 см. Найдите f и определите вид изображения.
Решение. f = Fd/(d − F) = 12 × 8/(8 − 12) = −24 см. Отрицательный знак означает мнимое изображение со стороны предмета.
Ответ. f = −24 см; мнимое изображение.
Рассеивающая линза
Условие. Фокусное расстояние рассеивающей линзы F = −15 см, предмет находится в 30 см перед ней. Где изображение?
Решение. f = (−15) × 30/(30 − (−15)) = −450/45 = −10 см. Проверка: −1/15 = 1/30 − 1/10.
Ответ. Мнимое изображение в 10 см от линзы со стороны предмета.
Калькулятор
Фокусное расстояние тонкой линзы
Введите расстояния в метрах. Для мнимого изображения f отрицательно.
- Положительное F соответствует собирающей линзе, отрицательное — рассеивающей.
- Положительное f означает действительное изображение, отрицательное — мнимое.
- Рассматривается действительный предмет перед тонкой линзой в воздухе.
Дополнительные источники
- OpenStax, University Physics Volume 3, §2.4 Thin Lenses: https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/2-4-thin-lenses
- OpenStax, College Physics 2e, §25.6 Image Formation by Lenses: https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/25-6-image-formation-by-lenses
- University of St Andrews, MacTutor, Johannes Kepler: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Strick/kepler.pdf
Связанные формулы
Физика
Оптическая сила линзы и фокусное расстояние
Оптическая сила равна величине, обратной фокусному расстоянию в метрах. Она измеряется в диоптриях и имеет положительный знак у собирающей линзы, отрицательный — у рассеивающей.
Физика
Линейное увеличение: размер изображения линзы
Линейное увеличение сравнивает высоту изображения с высотой предмета. Здесь используются положительные размеры: увеличение равно модулю расстояния до изображения, деленному на расстояние до предмета.
Физика
Показатель преломления среды
Абсолютный показатель преломления n=c/v показывает отношение скорости света в вакууме к фазовой скорости света в среде при заданной частоте или длине волны.