Все формулы РФ

Физика / Геометрическая оптика

Оптическая сила линзы и фокусное расстояние

Оптическая сила равна величине, обратной фокусному расстоянию в метрах. Она измеряется в диоптриях и имеет положительный знак у собирающей линзы, отрицательный — у рассеивающей.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭЕГЭФормулы по физике за 8 классГеометрическая оптикаКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$D=\frac{1}{F}$$
Схема Фокус и оптическая сила

Короткому по модулю фокусному расстоянию соответствует большая по модулю оптическая сила. Для собирающей линзы F и D положительны, для рассеивающей отрицательны.

Перед расчетом D = 1/F переведите фокусное расстояние в метры.

Обозначения

$D$
оптическая сила линзы со знаком, дптр = м⁻¹
$F$
фокусное расстояние линзы со знаком, м

Условия применения

  • Фокусное расстояние относится к одной линзе в указанной окружающей среде; для школьных задач обычно подразумевается линза в воздухе.
  • В формулу D = 1/F подставляют F в метрах и со знаком: для собирающей линзы F > 0, для рассеивающей F < 0. Фокусное расстояние не равно нулю.

Ограничения

  • Оптическая сила не равна увеличению изображения: последнее зависит также от положения предмета. По одному числу диоптрий размер изображения определить нельзя.
  • Для нескольких линз, разделенных заметным расстоянием, нельзя просто складывать их силы. Правило сложения требует отдельной модели близко расположенных тонких линз.

Подробное объяснение

Фокусное расстояние показывает, на каком расстоянии от собирающей линзы сходится параллельный оси пучок. У рассеивающей линзы пересекаются продолжения расходящихся лучей; соответствующему фокусу приписывают отрицательное расстояние. Оптическая сила сохраняет этот знак.

Вместо длинного описания фокуса используют обратную величину. Линза с коротким по модулю фокусным расстоянием сильнее изменяет направление близких к оси лучей и имеет большую по модулю оптическую силу. При уменьшении положительного F вдвое положительная D увеличивается вдвое.

Диоптрия — обратный метр: 1 дптр = 1 м⁻¹. Поэтому линза с F = 0,50 м имеет D = 2 дптр. Если подставить 50, забыв, что это сантиметры, получится ошибочное число 0,02. Перевод единиц здесь является частью определения используемой численной шкалы.

Обратное выражение F = 1/D позволяет перейти от диоптрий к метрам. Оно допустимо при D ≠ 0. Например, D = −4 дптр дает F = −0,25 м: знак сообщает, что линза рассеивающая. Нулевой оптической силе соответствует отсутствие фокусировки параллельного пучка на конечном расстоянии, а не нулевое F.

Числа +5 и −5 дптр одинаковы по модулю, но описывают противоположное действие на пучок. При сравнении нужно явно говорить, сравнивается ли собирающее действие или модуль оптической силы. Само увеличение изображения по D не находят: понадобится расстояние до предмета и формула тонкой линзы.

Как пользоваться формулой

  1. Определите тип линзы и выберите знак фокусного расстояния: собирающая положительна, рассеивающая отрицательна.
  2. Переведите фокусное расстояние в метры; например, 25 сантиметров нужно записать как 0,25 метра.
  3. Вычислите обратную величину со знаком и подпишите диоптрии, если исходное F было выражено в метрах.
  4. Если известна сила D, примените F = 1/D при ненулевом D и запишите полученное расстояние в метрах.
  5. Проверьте обратную подстановку и действие линзы: отрицательная сила должна соответствовать рассеивающему пучку.

Историческая справка

Оптические приборы потребовали удобного способа сравнивать действие линз. В начале XVII века теория зрительных труб связывала форму стекол с ходом лучей и положением изображения. Кеплер в «Диоптрике» 1611 года рассматривал геометрию оптических приборов; фокусные свойства линз стали частью их количественного описания.

Фокусное расстояние можно непосредственно сопоставлять с размерами прибора. Для сравнения действия линз удобнее обратное расстояние: короткому фокусу соответствует большее число. Именно такую величину сейчас называют оптической силой. Единица «обратный метр» делает численную шкалу однозначной, тогда как запись только «обратное расстояние» без единицы может дать разные числа в сантиметрах и метрах.

Школьное определение D = 1/F описывает эту измерительную договоренность. Оно не является отдельным законом, открытым в одном опыте, и не задает само по себе устройство очков или объектива. Современные курсы сохраняют рядом с определением правило знаков, чтобы одной шкалой описывать собирающее и рассеивающее действие.

Историческая линия формулы

Оптическая сила определяется как обратное фокусное расстояние; это измерительная характеристика линзы в геометрической оптике. Кеплер связан с развитием теории приборов, но приписывать ему современную единицу диоптрии или всю нынешнюю запись D = 1/F без отдельного исторического источника нельзя.

Пример

У рассеивающей линзы фокусное расстояние по модулю равно 40 см. Требуется определить ее оптическую силу. Дано: F = −40 см = −0,40 м; найти D. Минус ставим до вычисления, поскольку линза рассеивающая. Подстановка: D = 1/F = 1/(−0,40) = −2,5 дптр. Ответ: оптическая сила равна −2,5 диоптрии. Проверка обратной формулой: F = 1/(−2,5) = −0,40 м. Единица обратного расстояния — м⁻¹, то есть диоптрия. Если взять собирающую линзу с таким же модулем фокусного расстояния, ответ будет +2,5 дптр. Эти линзы одинаково характеризуются величиной 2,5 по модулю, но первая рассеивает параллельный пучок, а вторая собирает. Это различие нельзя убрать округлением или записью только положительного числа.

Частая ошибка

Не подставляйте сантиметры напрямую в D = 1/F: число диоптрий получится неверным в сто раз. Не отбрасывайте отрицательный знак у рассеивающей линзы. Не называйте оптическую силу увеличением: диоптрия имеет размерность обратной длины, увеличение — безразмерное отношение. При D = 0 обратное выражение не дает конечного фокуса; делить на ноль нельзя.

Практика

Задачи с решением

Фокус по диоптриям

Условие. Оптическая сила собирающей линзы +8 дптр. Найдите ее фокусное расстояние.

Решение. F = 1/D = 1/8 = 0,125 м = 12,5 см. Положительный знак соответствует собирающей линзе.

Ответ. +0,125 м, или 12,5 см.

Сравнение линз

Условие. У двух собирающих линз F1 = 20 см и F2 = 50 см. Во сколько раз различаются их оптические силы?

Решение. D1 = 1/0,20 = 5 дптр; D2 = 1/0,50 = 2 дптр. D1/D2 = 5/2 = 2,5.

Ответ. У первой линзы оптическая сила в 2,5 раза больше.

Калькулятор

Оптическая сила в диоптриях

Введите фокусное расстояние в метрах со знаком: минус для рассеивающей линзы.

Заполнить примером:
Введите значенияКалькулятор покажет ответ, промежуточные величины и ход подстановки.
  • 1 дптр = 1 м⁻¹. Перед вводом переведите сантиметры в метры.
  • Знак силы совпадает со знаком фокусного расстояния; это не знак размера изображения.

Дополнительные источники

  • OpenStax, College Physics 2e, §25.6 Image Formation by Lenses: https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/25-6-image-formation-by-lenses
  • OpenStax, University Physics Volume 3, §2.4 Thin Lenses: https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/2-4-thin-lenses
  • University of St Andrews, MacTutor, Johannes Kepler: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Strick/kepler.pdf

Связанные формулы

Физика

Формула тонкой линзы: расстояния и знаки

$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$

Формула тонкой линзы связывает положение предмета и изображения с фокусным расстоянием. Знак расстояния до изображения позволяет отличить действительное изображение от мнимого.

Физика

Линейное увеличение: размер изображения линзы

$\Gamma=\frac{H}{h}=\frac{|f|}{d}$

Линейное увеличение сравнивает высоту изображения с высотой предмета. Здесь используются положительные размеры: увеличение равно модулю расстояния до изображения, деленному на расстояние до предмета.

Физика

Показатель преломления среды

$n=\frac{c}{v}$

Абсолютный показатель преломления n=c/v показывает отношение скорости света в вакууме к фазовой скорости света в среде при заданной частоте или длине волны.