Линейная алгебра
Матрицы в расчетах
Матрицы как способ записи линейных преобразований, систем и квадратичных выражений.
7 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Квадратичная форма как квадратичная функция вектора | $q(x)=x^T A x = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_i x_j, \quad x \in \mathbb R^n.$ | Матрицы, определители | Любая квадратичная форма задаётся симметричной (или эквивалентно любая) матрицей A через скалярное произведение вектора x с образом A x. |
| Антисимметричная часть в квадратичной форме не влияет | $x^T A x = x^T \frac{A+A^T}{2} x = x^T A_{\mathrm{sym}} x.$ | Матрицы, определители | В x^T A x участвуют только симметричные коэффициенты, поэтому любую матрицу A можно заменить симметричной частью без изменения квадратичной формы. |
| Построение матрицы квадратичной формы из полинома | $q(x,y,z)=a x^2+2bxy+2cxz+d y^2+2eyz+f z^2=\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b&c\\ b&d&e\\ c&e&f\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}.$ | Матрицы, определители | Любую квадратичную форму двух- и трёхпеременных можно записать через матрицу, где коэффициенты при смешанных членах делятся пополам и переносятся в симметричные ячейки. |
| Квадратичная форма при смене переменных | $x=S y, \quad Q(y)=x^T A x = y^T (S^T A S) y = y^T B y.$ | Матрицы, определители | При обратимой линейной замене x = S y матрица формы меняется по сопряжённому преобразованию, а сама квадратичная форма остаётся той же величиной. |
| Критерий наименьших квадратов | $\hat x_{\mathrm{LS}}=\arg\min_{x\in\mathbb R^n} \|Ax-b\|_2^2 = \arg\min_x (Ax-b)^\top (Ax-b).$ | Матрицы, определители | Критерий наименьших квадратов измеряет суммарную квадратичную ошибку между наблюдаемым вектором b и моделью Ax, поэтому превращает переопределенную систему в задачу минимизации. |
| Нормальные уравнения для МНК | $A^\top A\,\hat x = A^\top b.$ | Матрицы, определители | Нормальные уравнения A^T A x = A^T b задают стационарное условие задачи МНК и позволяют найти параметры, при которых остаток ортогонален всем столбцам матрицы A. |
| Явная формула решения МНК через обратную матрицу | $\hat x=(A^\top A)^{-1}A^\top b,\qquad A^\top A\ \text{невырождена}.$ | Матрицы, определители | Если столбцы A линейно независимы, решение МНК можно записать явно как x=(A^T A)^{-1}A^T b, потому что матрица A^T A становится обратимой. |