Все формулы РФ

Физика / Геометрическая оптика

Линейное увеличение: размер изображения линзы

Линейное увеличение сравнивает высоту изображения с высотой предмета. Здесь используются положительные размеры: увеличение равно модулю расстояния до изображения, деленному на расстояние до предмета.

Опубликовано: Обновлено:

Геометрическая оптикаШкольная программаЕГЭФормулы по физике для ЕГЭКалькуляторСтраницы с задачами и решениямиФормулы по физике за 8 классФормулы по физике за 11 классЕсть историческая справка

Формула

$$\Gamma=\frac{H}{h}=\frac{|f|}{d}$$
Схема Подобные треугольники у линзы

Высоты предмета h и изображения H образуют треугольники с расстояниями d и |f|. Отношение положительных размеров равно Γ = H/h = |f|/d.

Размер изображения и его ориентация описываются отдельно.

Обозначения

$\Gamma$
линейное увеличение по модулям размеров, безразмерное
$H$
положительная высота изображения, м
$h$
положительная высота предмета, м
$f$
расстояние до изображения со знаком; в отношении берется модуль, м
$d$
положительное расстояние до действительного предмета, м

Условия применения

  • Высоты H и h измеряют перпендикулярно главной оптической оси и используют как положительные размеры одного изображения и соответствующего предмета.
  • Равенство с отношением расстояний относится к тонкой линзе и действительному предмету: d > 0, h > 0. Лучи рассматривают в приближении геометрической оптики около главной оси.

Ограничения

  • Положительное число Γ не показывает, прямое изображение или перевернутое. Ориентацию устанавливают по построению лучей либо по отдельному знаковому увеличению β = −f/d.
  • Линейное увеличение не равно угловому увеличению лупы или телескопа. По размеру изображения без размера предмета вычислить отношение нельзя; нулевые h и d не допускаются.

Подробное объяснение

Если предмет высотой 2 см дает изображение высотой 6 см, линейное увеличение равно трем. Это означает увеличение всех поперечных размеров в три раза в принятой модели, а не прибавление трех сантиметров к каждому размеру. Величина Γ безразмерна, потому что единицы высот сокращаются.

Связь с расстояниями получается из подобных треугольников, образованных главной осью, предметом, изображением и лучом через оптический центр. В модели тонкой линзы этот луч почти не меняет направления. Поэтому отношение высот по модулю равно |f|/d. Если расстояние до изображения вдвое больше расстояния до предмета, изображение вдвое выше.

Здесь H и h — положительные размеры. Для действительного перевернутого изображения отношение H/h тоже положительно. Если нужно отразить ориентацию знаком, вводят другую величину: β = −f/d. При f > 0 она отрицательна, при f < 0 положительна. Смешивать положительное Γ и знаковое β в одной подстановке нельзя.

Обратные выражения: H = Γh, h = H/Γ, |f| = Γd и d = |f|/Γ. Деление на Γ возможно при Γ > 0. Для нахождения самого знакового f нужно дополнительно знать, действительное изображение или мнимое. Одного значения Γ для этого недостаточно.

Увеличение зависит не только от линзы, но и от положения предмета. Если известны фокусное расстояние и расстояние до предмета, сначала найдите f по формуле тонкой линзы, затем вычислите |f|/d. У собирающей линзы предмет внутри фокуса дает мнимое прямое увеличенное изображение; при изменении положения характер изображения меняется.

Как пользоваться формулой

  1. Подпишите на рисунке высоту предмета h и высоту изображения H; обе высоты в этой записи считаются положительными.
  2. Если известны расстояния, проверьте, что d относится к предмету, а f — к изображению, и возьмите модуль f.
  3. Выразите обе высоты или оба расстояния в одной единице, затем вычислите их отношение без размерности.
  4. Для неизвестной высоты используйте H = Γh или h = H/Γ; убедитесь, что делитель Γ положителен и не равен нулю.
  5. Отдельно определите ориентацию по лучам или β = −f/d и запишите ее словами рядом с положительным размером.

Историческая справка

Сравнение размеров предмета и изображения стало практической задачей при развитии увеличительных стекол и оптических труб. Геометрический способ описания лучей позволил связывать видимое изображение с расположением стекол. В «Диоптрике» 1611 года Кеплер рассматривал основы оптических приборов, включая систему двух собирающих линз.

Для учебного расчета линейного увеличения используется подобие треугольников, а не особая характеристика материала стекла. Именно поэтому в отношение входят расстояния и размеры: при перемещении предмета одна и та же линза может дать разное изображение. Формула полезна и без знания исторических названий приборов — достаточно построить луч через оптический центр.

Современные учебные записи различают размер и ориентацию. Одни используют отношение положительных высот, другие — знаковое увеличение. Такое различие обозначений не означает разной физики: отрицательный знак в знаковой записи сообщает о перевороте. В этой статье отношение размеров обозначено Γ и всегда неотрицательно, а знак ориентации передается отдельно.

Историческая линия формулы

Линейное увеличение является геометрическим отношением размеров и следствием подобия треугольников для тонкой линзы. Его не следует приписывать одному изобретателю. Кеплер связан с развитием геометрической теории приборов, а современные правила знаков необходимо проверять по выбранному учебному соглашению.

Пример

Предмет высотой 3 см находится в 40 см перед собирающей линзой; действительное изображение получилось в 60 см за линзой. Найдите линейное увеличение и высоту изображения. Дано: h = 3 см, d = 40 см, f = +60 см. Γ = |f|/d = 60/40 = 1,5. Тогда H = Γh = 1,5 × 3 = 4,5 см. Ответ: изображение в 1,5 раза выше предмета, его высота 4,5 см. Оба расстояния взяты в сантиметрах, поэтому их единицы сокращаются. Проверка по высотам: H/h = 4,5/3 = 1,5. Изображение действительное, поэтому оно перевернуто; положительное Γ этого не отменяет. Знаковое увеличение было бы β = −60/40 = −1,5. Мы не ставим минус перед размером 4,5 см, поскольку H по определению этой записи — положительная высота.

Частая ошибка

Не путайте Γ с буквой G и не называйте высоту H напряженностью поля: смысл символов определяется этой задачей. Не смешивайте сантиметры с метрами в одном отношении. Не делайте вывод о прямом изображении из положительного Γ: здесь использованы модули. Не подставляйте фокусное расстояние вместо расстояния до изображения — эти величины в общем случае различны.

Практика

Задачи с решением

Восстановить размер предмета

Условие. Высота изображения 12 мм, линейное увеличение Γ = 0,4. Какова высота предмета?

Решение. h = H/Γ = 12/0,4 = 30 мм. Проверка: 12/30 = 0,4; изображение уменьшенное.

Ответ. 30 мм.

Мнимое изображение

Условие. Предмет расположен на d = 10 см; мнимое изображение имеет f = −30 см. Высота предмета 2 см. Найдите Γ и H.

Решение. Γ = |−30|/10 = 3; H = 3 × 2 = 6 см. β = −(−30)/10 = +3: изображение прямое.

Ответ. Γ = 3; H = 6 см; изображение прямое.

Калькулятор

Линейное увеличение по размерам

Введите положительные размеры в одной единице. Нулевая высота изображения дает нулевое отношение.

Заполнить примером:
Введите значенияКалькулятор покажет ответ, промежуточные величины и ход подстановки.
  • Число Γ описывает отношение размеров; ориентацию изображения определяют отдельно.
  • Γ = 0 при H = 0 — граничное значение отношения, а не пример обычного изображения ненулевого предмета.
  • Для обратной формулы h = H/Γ требуется ненулевое Γ.

Дополнительные источники

  • OpenStax, University Physics Volume 3, §2.4 Thin Lenses: https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/2-4-thin-lenses
  • OpenStax, College Physics 2e, §25.6 Image Formation by Lenses: https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/25-6-image-formation-by-lenses
  • University of St Andrews, MacTutor, Johannes Kepler: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Strick/kepler.pdf

Связанные формулы

Физика

Формула тонкой линзы: расстояния и знаки

$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$

Формула тонкой линзы связывает положение предмета и изображения с фокусным расстоянием. Знак расстояния до изображения позволяет отличить действительное изображение от мнимого.

Физика

Оптическая сила линзы и фокусное расстояние

$D=\frac{1}{F}$

Оптическая сила равна величине, обратной фокусному расстоянию в метрах. Она измеряется в диоптриях и имеет положительный знак у собирающей линзы, отрицательный — у рассеивающей.

Физика

Показатель преломления среды

$n=\frac{c}{v}$

Абсолютный показатель преломления n=c/v показывает отношение скорости света в вакууме к фазовой скорости света в среде при заданной частоте или длине волны.