Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Главные оси
Главные оси квадратичных форм, коник и поверхностей после поворота координат.
4 формулы
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Устранение смешанного члена в 2D | $q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2, \quad \tan 2\theta=\frac{2b}{a-c}, \quad q = \lambda_1 u^2 + \lambda_2 v^2.$ | Матрицы, определители | В плоскости поворот координат на θ (u,v) убирает смешанный член q. Главные оси соответствуют направлениям, где кросс-термин исчезает. |
| Ортогональная диагонализация симметричной матрицы квадратичной формы | $A=Q\Lambda Q^T, \quad Q^TQ=I, \quad Q=[q_1\dots q_n], \; q(x)=x^T A x=(Q^Tx)^T \Lambda (Q^Tx).$ | Матрицы, определители | Для симметричной A всегда существует ортогональная матрица собственных векторов, которая переводит квадратичную форму в диагональный вид и задаёт главные оси. |
| Канонический вид в главных осях | $q(x)=x^T A x = z^T\Lambda z = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i z_i^2, \quad x=Qz.$ | Матрицы, определители | В координатах главных осей квадратичная форма становится суммой квадратов с весами-коэффициентами λ_i, что упрощает классификацию многообразий. |
| Экстремумы квадратичной формы на сфере | $\lambda_{\min} \le \frac{x^T A x}{x^T x} \le \lambda_{\max}, \quad A=A^T.$ | Матрицы, определители | На единичной сфере максимум и минимум квадратичной формы достигаются на собственных векторах, соответствующих λ_max и λ_min. |