Все формулы РФ

Математика / Вероятность и статистика

Равномерное распределение: вероятность попасть в интервал

Для непрерывного равномерного распределения на отрезке [a,b] вероятность попадания в его часть [c,d] равна отношению длин. Равные по длине части имеют одинаковые вероятности независимо от положения.

Опубликовано: Обновлено:

Теория вероятностей и математическая статистикаСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаАлгебра

Формула

$$P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a},\qquad a\le c\le d\le b$$
Схема Приход между 10:00 и 10:20
Приход между 10:00 и 10:20Приход между 10:00 и 10:20УчастокМинутВероятность10:00–10:0550,2510:05–10:1270,3510:12–10:2080,40Вероятности трёх частей в сумме равны 1

Средний участок длиной 7 минут даёт вероятность 7/20.

Обозначения

$X$
непрерывная случайная координата, единица исходной шкалы
a, b
левая и правая границы распределения, единица исходной шкалы
c, d
границы интересующего участка, единица исходной шкалы
$P$
вероятность попадания в участок, безразмерная величина

Условия применения

Границы конечны и a<b. Плотность внутри [a,b] постоянна, вне отрезка равна нулю. В указанной записи [c,d] целиком лежит внутри [a,b]. Все четыре границы выражают в одной единице; для выходящего за пределы участка сначала берут пересечение отрезков.

Ограничения

Неизвестность положения сама по себе не означает равномерность. При пиках плотности отношение длин неверно. Модель непрерывная: вероятность одной точной координаты равна нулю, тогда как в дискретном равномерном выборе среди конечных значений точки имеют положительные вероятности.

Подробное объяснение

Равномерность означает постоянную плотность, а не одинаковую ненулевую вероятность каждой отдельной точки. Площадь под плотностью на всём отрезке должна равняться единице. Поэтому высота прямоугольника равна 1/(b−a), а его ширина — b−a.

Для меньшего интервала высота остаётся прежней, меняется только ширина. Площадь прямоугольника над [c,d] равна (d−c)/(b−a), что и даёт вероятность. Если удвоить длину участка, не выходя за границы исходного отрезка, вероятность также удвоится.

Включение или исключение концов участка не меняет ответ: любая отдельная точка имеет нулевую вероятность. Это свойство непрерывной модели. При округлении реальных измерений мы получаем ячейки ненулевой ширины; их вероятности уже могут быть положительными.

Если интересующий участок частично выходит за [a,b], его внешняя часть невозможна. Например, для X на [0,10] условие 8≤X≤14 фактически означает 8≤X≤10, и в числителе нужна длина два, а не шесть. Полностью внешний участок даёт ноль.

Единицы сокращаются в отношении длин: минуты делят на минуты, метры на метры. Плотность, напротив, имеет обратную единицу и может быть численно больше единицы на коротком отрезке. Ограничение от нуля до единицы относится к вероятности, а не к высоте плотности.

Как пользоваться формулой

  1. Определите исходный отрезок [a,b] и убедитесь, что условие задачи действительно задаёт равномерную модель.
  2. Переведите границы участка в те же единицы, что и исходный диапазон, до вычисления разностей.
  3. Если участок выходит за [a,b], оставьте только его пересечение с областью возможных значений.
  4. Разделите длину оставшегося участка на b−a и проверьте ответ по крайним случаям нуля и единицы.

Историческая справка

Непрерывное равномерное распределение выросло из геометрического подхода к вероятности, где мерой благоприятных исходов служит длина, площадь или объём. Современный язык плотности связывает этот подход с интегральным исчислением. В учебной и прикладной литературе XX–XXI веков равномерная модель на [0,1] стала стандартной исходной моделью для генерации случайных величин: преобразование такого числа позволяет строить другие распределения. Справочник NIST прямо отмечает эту роль равномерного закона. Отношение длин не имеет единственного общепринятого автора как отдельная формула; оно следует из постоянной плотности и нормировки. При этом реальный генератор выдаёт конечный набор машинных чисел, так что непрерывный закон является математической моделью, а не буквальным описанием всех битовых результатов.

Историческая линия формулы

Равномерный закон относится к общей традиции геометрической вероятности и современного описания распределений плотностями. Здесь не приписывается одному исследователю ни отношение длин, ни вся технология генерации случайных чисел: это разные этапы развития методов.

Пример

В учебной модели момент прихода равномерно распределён между 10:00 и 10:20. Найдём вероятность прихода между 10:05 и 10:12. Отсчитываем минуты от 10:00: a=0, b=20, c=5, d=12. Длина нужного промежутка 12−5=7 минут, всего возможного промежутка — 20 минут. Получаем P=7/20=0,35, то есть 35%. Проверка: этот промежуток занимает немного больше трети всего времени, поэтому результат согласуется с длинами. Вероятность от 10:13 до 10:20 тоже равна 35%, поскольку длина опять семь минут. Это вывод из заданной равномерной модели, а не утверждение о фактическом распределении прихода людей.

Частая ошибка

Не делите правую границу d на b вместо отношения длин. Не считайте весь участок, если часть лежит вне области распределения. Не смешивайте часы и минуты при вычитании. Не переносите правило на дискретный выбор целых чисел: там считают количество допустимых значений, включая подходящие граничные точки.

Практика

Задачи с решением

Часть за границей

Условие. X равномерна на [0,10]. Найдите P(8≤X≤14).

Решение. Пересечение с областью значений равно [8,10]. Его длина 2, поэтому вероятность 2/10=0,2.

Ответ. 20%

Отрицательная граница

Условие. X равномерна на [−2,6]. Найдите P(0≤X≤3).

Решение. Нужная длина 3−0=3, общая 6−(−2)=8. Отношение равно 3/8.

Ответ. 0,375, или 37,5%

Дополнительные источники

  • https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3662.htm
  • https://www.statlect.com/probability-distributions/uniform-distribution

Связанные формулы

Математика

Плотность нормального распределения

$f(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

Формула «Плотность нормального распределения» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Математическое ожидание дискретной случайной величины

$M(X)=\sum_i x_i p_i$

Формула «Математическое ожидание дискретной случайной величины» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Дисперсия дискретной случайной величины

$D(X)=\sum_i (x_i-M(X))^2p_i$

Формула «Дисперсия дискретной случайной величины» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.