Все формулы РФ

Физика / Колебания и волны

Сферическая волна

Сферическая волна от точечного источника имеет фазу omega t - kr и амплитуду, примерно обратно пропорциональную расстоянию r.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по физике за 11 классКолебания и волныКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$\xi(r,t)=\frac{A}{r}\cos(\omega t-kr+\varphi_0)$$
схема Сферическая волна
λ, ν, vxi(r,t)=frac{A}{r}cos(omega t-kr+varphi_0)

Волновые величины связывают периодичность во времени и пространстве.

Обозначения

$\xi$
волновая величина, зависит от природы волны
$A$
амплитудный коэффициент источника, зависит от величины
$r$
расстояние от источника, м
$\omega$
циклическая частота, рад/с
$k$
волновое число, рад/м

Условия применения

  • Источник можно считать точечным относительно расстояния наблюдения.
  • Среда однородна и изотропна.
  • Поглощение мало или рассматривается отдельно.

Ограничения

  • Вблизи реального источника поле может не быть сферическим.
  • Поглощение добавляет экспоненциальное ослабление.
  • На больших расстояниях малый участок фронта можно приближать плоской волной.

Подробное объяснение

Сферическая волна удобно рассматривать не как изолированную запись, а как компактную модель связи между измеряемыми величинами. Формула \xi(r,t)=\frac{A}{r}\cos(\omega t-kr+\varphi_0) показывает, какие параметры задают результат и какие величины нельзя менять независимо. В учебной задаче это особенно важно: сначала определяют физическую ситуацию, затем выбирают переменные, переводят их в СИ и только после этого выполняют арифметику. Такой порядок защищает от типичной ошибки, когда красивая формула применяется к случаю, для которого ее предпосылки уже нарушены.

Величина \xi имеет смысл только в рамках выбранной модели: сферическая волна расходится от точечного источника, а амплитуда убывает с расстоянием. Если условия близки к идеальным, результат хорошо описывает опыт и позволяет быстро сравнивать разные случаи. Если же среда неоднородна, амплитуда меняется, контур имеет сложную форму или процесс уже не является гармоническим, формулу используют локально, как первое приближение, либо заменяют более общей записью. Поэтому в решении всегда полезно проговорить, что именно считается постоянным, а что меняется.

С математической стороны формула задает масштабную зависимость. По ней видно, во сколько раз изменится ответ при изменении одной переменной при прочих равных. Например, если параметр входит в числитель линейно, удвоение этого параметра удваивает ответ. Если параметр стоит под корнем, влияние слабее: увеличение в четыре раза дает рост только в два раза. Если параметр находится в знаменателе, усиление этого параметра уменьшает искомую величину. Такие проверки часто быстрее полного пересчета и помогают находить неверные ответы.

В физических задачах эта запись также связывает разные разделы курса. Электрические формулы соединяют энергию, заряд, потенциал, напряженность и свойства среды. Волновые формулы соединяют колебания источника, пространственную периодичность, скорость распространения, фазу и наблюдаемую картину интерференции. Поэтому полезно не заучивать одну строку, а видеть семейство эквивалентных записей: одна форма удобна для данных через частоту, другая через период, третья через длину волны или энергию.

Практический смысл формулы проявляется в проверке предельных случаев. Нулевая амплитуда, нулевая плотность энергии, бесконечно большая длина волны, малый угол или отсутствие разности хода должны давать понятный физический результат. Если подстановка приводит к невозможному знаку, отрицательному радиусу, энергии без единиц или фазе без размерностной проверки, значит ошибка возникла до финального ответа. Поэтому хорошее решение заканчивается не только числом, но и короткой оценкой: размерность верна, порядок величины реалистичен, зависимость от параметров совпадает с физическим смыслом.

Как пользоваться формулой

  1. Определите расстояние r от источника.
  2. Проверьте, можно ли считать источник точечным.
  3. Используйте фазу omega t - kr для расходящейся волны.
  4. Учитывайте спад амплитуды 1/r.
  5. Для интенсивности переходите к квадрату амплитуды.

Историческая справка

История темы сферическая волна связана с постепенным переходом физики от качественных наблюдений к количественным моделям. В электродинамике этот путь шел через опыты с зарядами, конденсаторами, токами и полями: сначала физики научились измерять потенциалы и силы, затем ввели емкость, энергию поля и плотность энергии. В учении о волнах похожий переход начался с механических волн, акустики и оптики: периодичность колебаний, скорость распространения и длина волны стали общим языком для звука, света и электромагнитных процессов.

Современная формула \xi(r,t)=\frac{A}{r}\cos(\omega t-kr+\varphi_0) является результатом этой учебной кодификации. Она редко принадлежит одному автору в виде готовой школьной строки: чаще в ней соединены экспериментальные факты, математическая запись и более поздняя система единиц. Например, волновые соотношения опираются на работы Гюйгенса, Юнга, Френеля, Фурье и Максвелла, а энергетические формулы электростатики - на развитие представлений о потенциале, емкости и поле у Кулона, Фарадея, Максвелла и их последователей.

Для современной страницы важна аккуратная историческая атрибуция: она показывает происхождение идеи, но не превращает формулу в легенду о единственном открытии. В школьной и вузовской традиции эти записи ценны именно тем, что стали универсальными расчетными инструментами. Они позволяют описывать лабораторный опыт, инженерную оценку и экзаменационную задачу одним и тем же языком, если явно указаны условия применимости.

Историческая линия формулы

Формулу корректно связывать с развитием раздела «Колебания и волны», а не приписывать одному автору без оговорок. Вклад исторических фигур важен для физической идеи и обозначений, но современная запись \xi(r,t)=\frac{A}{r}\cos(\omega t-kr+\varphi_0) закрепилась как учебная форма после стандартизации величин, единиц СИ и методов решения задач. Поэтому атрибуция должна упоминать линию исследований и область применения.

Пример

Амплитуда сферической волны на расстоянии 2 м равна 0,10 условной единицы. Нужно оценить амплитуду на 4 м. Переведем все величины в СИ и явно запишем, какая форма формулы используется. При зависимости A_r пропорционально 1/r удвоение расстояния уменьшает амплитуду в 2 раза: 0,10/2 = 0,05. Полученный ответ нужно округлить по точности исходных данных и снабдить единицей измерения: 0,05 условной единицы. Проверим смысл результата. Интенсивность при этом уменьшилась бы в 4 раза, потому что она пропорциональна квадрату амплитуды. Такая проверка особенно полезна в коротко сформулированных задачах, где название темы часто короче самой физической модели: одна и та же формула может выглядеть знакомо, но работать только при правильном выборе угла, фазы, плотности среды, емкости или скорости распространения. Если в условии вместо одной из величин дана связанная величина, сначала выражают ее через вспомогательную формулу, а затем подставляют в основную запись. В итоговом ответе лучше оставить не только число, но и короткое пояснение, почему выбранная модель применима.

Частая ошибка

Чаще всего ошибаются не в арифметике, а в выборе смысла величин. Для этой темы опасно путать убывание амплитуды 1/r с убыванием интенсивности 1/r^2. Вторая частая ошибка - смешивать единицы: сантиметры оставляют рядом с метрами, миллисекунды с секундами, нанометры с метрами или децибелы с безразмерным отношением. Третья ошибка - применять формулу вне условий: использовать сферическую волну для направленного источника рядом с излучателем. Еще один риск - считать, что знак ответа всегда несет геометрическое направление. В большинстве школьных записей сначала находят модуль или условие максимума/минимума, а направление, фазу или номер максимума обсуждают отдельно.

Практика

Задачи с решением

Спад амплитуды

Условие. На 3 м амплитуда 6 мм. Какова амплитуда на 9 м?

Решение. Расстояние выросло в 3 раза, амплитуда уменьшится в 3 раза: 2 мм.

Ответ. 2 мм

Интенсивность

Условие. Расстояние от источника увеличили в 2 раза. Как изменилась интенсивность?

Решение. Для сферической волны интенсивность пропорциональна 1/r^2, поэтому уменьшится в 4 раза.

Ответ. уменьшится в 4 раза

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax University Physics Volume 1: Oscillations and Waves

Связанные формулы

Физика

Плоская волна

$\xi=A\cos(\omega t-kx+\varphi_0)$

Плоская волна описывается гармонической функцией фазы omega t - kx + phi0. Амплитуда в идеальной модели не зависит от координат фронта.

Физика

Длина волны

$\lambda=\frac{v}{\nu}$

Длина волны равна скорости распространения, деленной на частоту. Это пространственный период волны: расстояние между соседними гребнями или одинаковыми фазовыми точками.

Физика

Фазовая скорость волны

$v_\varphi=\frac{\omega}{k}=\lambda\nu$

Фазовая скорость равна omega/k или lambda nu. Она описывает движение фазового фронта гармонической волны в среде. Это помогает быстро выбрать расчетную модель, проверить размерность ответа и связать формулу с соседними темами курса.

Физика

Уровень громкости звука

$L=10\lg\frac{I}{I_0}$

Уровень звука в децибелах равен 10 lg(I/I0), где I0 обычно принимают равным 10^-12 Вт/м^2 для воздуха. Это помогает быстро выбрать расчетную модель, проверить размерность ответа и связать формулу с соседними темами курса.