Аналитика / Описательная статистика

Эксцесс распределения: расчёт через четвёртый момент

Эксцесс сравнивает нормированный четвёртый центральный момент с уровнем нормального распределения. В этой записи нормальный закон имеет эксцесс 0, а ненормированный по смещению коэффициент куртозиса равен 3.

Опубликовано: 15 октября 2026 г.Обновлено: 15 октября 2026 г.

Формула

g_2=\frac{m_4}{m_2^2}-3,\qquad m_k=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^k

Схема Четвёртые степени отклонений

Данные 1, 2, 3, 4, 5: среднее 3, m₂=2, m₄=6,8. На графике вклады в m₄; эксцесс равен −1,3.

Обозначения

$g₂$: моментный эксцесс, безразмерная величина
$m₄$: средняя четвёртая степень отклонений, четвёртая степень единицы данных
$m₂$: средний квадрат отклонений, квадрат единицы данных
$x̄$: арифметическое среднее, единица данных
$n$: число наблюдений, шт.
$xᵢ$: исходное наблюдение, единица данных

Условия применения

Требуются конечные числовые наблюдения и m₂>0; оба момента рассчитываются с одинаковым делителем n. Для генерального распределения необходим конечный четвёртый момент. Определение содержит вычитание трёх: если программа возвращает куртозис без этого вычитания, ответы нужно привести к одной договорённости.

Ограничения

Эксцесс не является надёжным описанием одной только высоты вершины и не доказывает нормальность при нулевом значении. Он крайне чувствителен к далёким наблюдениям. Для малых выборок оценка нестабильна; скорректированные программные оценки могут отличаться от простой моментной формулы этой страницы.

Подробное объяснение

Четвёртая степень отклонений не зависит от знака и быстро увеличивается с расстоянием от среднего. Например, удвоение отклонения увеличивает его вклад в четвёртый момент в 16 раз. Поэтому m₄ подчёркивает наличие больших отклонений сильнее, чем дисперсия.

Деление на m₂² убирает единицы и общий масштаб. Если все данные умножить на c≠0, четвёртый момент умножится на c⁴, а квадрат второго — тоже на c⁴. Нормированное отношение останется прежним. Сдвиг на постоянное число также не влияет на центральные моменты.

У нормального распределения отношение m₄/m₂² в теоретической форме равно 3. Вычитание трёх задаёт точку отсчёта, называемую эксцессом. Положительное и отрицательное значения показывают различие нормированного четвёртого момента относительно этой точки, но не дают самостоятельного теста нормальности.

Термин «куртозис» в разных пакетах иногда означает отношение, а иногда уже эксцесс. Кроме того, выборочная поправка меняет результат. Перед сравнением таблиц нужно проверить обе договорённости, иначе разница ровно на 3 или небольшое расхождение будут ошибочно приняты за свойства данных.

Для постоянного ряда m₂=0 и показатель не определён. У непостоянного конечного ряда m₄≥m₂², поэтому g₂≥−2. Эта нижняя граница полезна при проверке ручного расчёта: результат −4 указывает на ошибку формулы или нормировки.

Как пользоваться формулой

Вычислите среднее набора, затем составьте отклонения каждого наблюдения от найденного среднего.
Найдите среднее квадратов отклонений m₂ с делителем n и проверьте, что оно строго положительно.
Возведите те же отклонения в четвёртую степень, сложите результаты и разделите на n для m₄.
Разделите m₄ на квадрат m₂ и вычтите 3; не заменяйте m₂ выборочной дисперсией с делителем n−1.
Подпишите ответ как моментный эксцесс без поправки и проверьте, что он не меньше минус двух.

Историческая справка

Методы описания распределений через моменты развивались в математической статистике конца XIX и начала XX века, когда исследование наблюдений перестало ограничиваться одной средней величиной. Карл Пирсон и последующие статистики изучали семейства распределений и характеристики их формы. Четвёртый нормированный момент стал одним из способов сравнения с нормальным законом. В современной практике сохранились две договорённости: само отношение четвёртого момента к квадрату второго и это отношение за вычетом трёх. NIST специально предупреждает об их различии в справочном разделе об асимметрии и куртозисе. Дополнительные выборочные поправки появились в задаче оценивания параметров по ограниченным данным. Поэтому исторически сложившийся термин следует сопровождать формулой: название показателя само по себе не гарантирует совпадение результатов программ.

Историческая линия формулы

Эксцесс относится к классическим моментным характеристикам статистики, связанным с развитием методов описания распределений. Здесь не устанавливается единственный автор всех вариантов оценки; используется явно указанная моментная формула с вычитанием трёх и без поправки.

Карл Пирсон 1857-1936

Пример

Для набора 1, 2, 3, 4, 5 среднее равно 3. Отклонения: −2, −1, 0, 1, 2. Сумма квадратов равна 10, значит m₂=10/5=2. Сумма четвёртых степеней равна 16+1+0+1+16=34, поэтому m₄=34/5=6,8. Куртозис без вычитания равен 6,8/2²=1,7. Эксцесс g₂=1,7−3=−1,3. Ответ безразмерный и выше нижней границы −2. Отрицательное значение относится к данному конечному набору: по пяти наблюдениям нельзя доказать форму всей генеральной совокупности. Если удвоить все значения, моменты станут m₂=8 и m₄=108,8; отношение 108,8/64 снова равно 1,7.

Частая ошибка

Не смешивайте куртозис и эксцесс: между ними разница 3 только при одинаковой нормировке. Не подставляйте четвёртую степень среднего вместо среднего четвёртых степеней отклонений. Не трактуйте эксцесс исключительно как «остроту вершины». Если дисперсия равна нулю, не присваивайте дроби 0/0 произвольное значение.

Практика

Задачи с решением

Два значения

Условие. Найдите эксцесс набора −1, 1.

Решение. Среднее 0, m₂=1, m₄=1. g₂=1/1−3=−2.

Ответ. −2

Три значения

Условие. Найдите эксцесс набора −1, 0, 1.

Решение. Среднее 0; m₂=2/3 и m₄=2/3. Отношение (2/3)/(4/9)=3/2, эксцесс 1,5−3=−1,5.

Ответ. −1,5

Дополнительные источники

https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda35b.htm
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Pearson/

Связанные формулы

Аналитика

Моментный коэффициент асимметрии: расчёт по выборке

$g_1=\frac{m_3}{m_2^{3/2}},\qquad m_k=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^k$

Моментный коэффициент асимметрии нормирует средний куб отклонений на масштаб разброса. Положительный знак показывает преобладание правых кубических отклонений, отрицательный — левых.

Математика

Дисперсия дискретной случайной величины

$D(X)=\sum_i (x_i-M(X))^2p_i$

Формула «Дисперсия дискретной случайной величины» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Среднеквадратическое отклонение случайной величины

$\sigma=\sqrt{D(X)}$

Формула «Среднеквадратическое отклонение случайной величины» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.