Аналитика / Описательная статистика

Моментный коэффициент асимметрии: расчёт по выборке

Моментный коэффициент асимметрии нормирует средний куб отклонений на масштаб разброса. Положительный знак показывает преобладание правых кубических отклонений, отрицательный — левых.

Опубликовано: 15 октября 2026 г.Обновлено: 15 октября 2026 г.

Формула

g_1=\frac{m_3}{m_2^{3/2}},\qquad m_k=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^k

Схема Кубы отклонений от среднего

Данные 1, 2, 2, 3, 7, среднее 3. Кубы отклонений: −8, −1, −1, 0, 64; положительный вклад даёт m₃=10,8.

Обозначения

$g₁$: моментный коэффициент асимметрии, безразмерная величина
$m₂$: средний квадрат отклонений от среднего, квадрат единицы данных
$m₃$: средний куб отклонений от среднего, куб единицы данных
$xᵢ$: наблюдение, единица данных
$x̄$: арифметическое среднее, единица данных
$n$: число наблюдений, шт.

Условия применения

Наблюдения числовые, конечные и сопоставимые; разброс ненулевой, то есть m₂>0. Оба центральных момента вычисляются с делением на n. Для теоретического распределения соответствующий коэффициент требует конечного абсолютного третьего момента; для конечного набора достаточно указанных условий.

Ограничения

Нулевой коэффициент не доказывает ни симметрию, ни нормальность распределения. Куб отклонения усиливает влияние выбросов. Для небольшой случайной выборки g₁ может заметно отличаться от параметра генеральной совокупности; скорректированный коэффициент G₁ и другие определения асимметрии дают иные числа.

Подробное объяснение

Центральный момент третьего порядка сохраняет знак отклонения: значения выше среднего дают положительные кубы, значения ниже — отрицательные. Если набор симметричен относительно своего среднего, противоположные кубы взаимно уничтожаются и m₃=0. Обратное утверждение в общем случае неверно.

Знаменатель m₂^(3/2) равен кубу стандартного отклонения, вычисленного с делителем n. Он устраняет размерность: куб единицы данных делится на такой же куб. Коэффициент не меняется при прибавлении константы ко всем наблюдениям или при умножении их на положительный коэффициент.

Отражение данных, например замена x на −x, меняет знак g₁. Поэтому показатель чувствителен к направлению асимметрии, в отличие от дисперсии. Для одномодальных распределений знак часто описывают через направление более длинного хвоста; при нескольких вершинах такая словесная интерпретация требует осторожности.

Существует поправка G₁=√(n(n−1))/(n−2)·g₁ при n>2. Она не входит в рассматриваемое определение. Нельзя незаметно заменить делитель n в m₂ на n−1 и ожидать тот же коэффициент: изменится нормировка.

Практический расчёт удобно проверять преобразованиями. Сдвиг ряда на 100 единиц должен сохранить g₁, умножение на −1 — изменить только знак. Если данные постоянны, числитель и знаменатель нулевые; значение следует признать неопределённым, а не назначать ему ноль.

Как пользоваться формулой

Найдите среднее x̄ по всем наблюдениям и для каждого числа вычислите отклонение xᵢ−x̄.
Возведите отклонения в квадрат, сложите результаты и разделите на n, чтобы получить m₂.
Отдельно сложите кубы отклонений с сохранением их знаков и разделите сумму на n для m₃.
Убедитесь, что m₂ положителен, и вычислите отношение m₃ к m₂ в степени три вторых.
Укажите, что вычислен g₁ без поправки; сравните знак с расположением наблюдений относительно среднего.

Историческая справка

Количественное описание формы распределения стало особенно важным при развитии математической статистики в конце XIX и начале XX века. Исследователям биологических и других наблюдений требовалось различать распределения, которые имели похожие средние, но разную форму. Работы Карла Пирсона были частью этого перехода к систематическому использованию моментов. Современная справочная терминология NIST называет нормированный третий момент коэффициентом Фишера—Пирсона и отдельно приводит поправку на размер выборки. Эти названия не означают, что все способы измерения асимметрии совпадают. Например, коэффициент через квартили или через разность среднего и медианы использует другие характеристики. Историческое развитие разных определений объясняет, почему в вычислительном отчёте требуется указывать формулу и нормировку, а не одно слово «асимметрия».

Историческая линия формулы

Моментный g₁ относится к статистической традиции Фишера—Пирсона. Историю развития методов моментов нельзя свести к одному выражению или одной дате; здесь используется конкретное современное определение с центральными моментами, делёнными на n, без выборочной поправки.

Карл Пирсон 1857-1936

Пример

Для данных 1, 2, 2, 3, 7 найдём моментный коэффициент асимметрии. Среднее x̄=(1+2+2+3+7)/5=3. Отклонения равны −2, −1, −1, 0, 4. Сумма квадратов составляет 4+1+1+0+16=22, поэтому m₂=4,4. Сумма кубов равна −8−1−1+0+64=54, значит m₃=10,8. Получаем g₁=10,8/4,4^(3/2)=1,170159…≈1,17. Коэффициент безразмерный. Большое положительное отклонение последнего наблюдения объясняет положительный знак. Если прибавить ко всем пяти числам 10, новое среднее станет 13, но отклонения останутся прежними и ответ не изменится. Это проверка именно центральных моментов, а не степеней исходных чисел.

Частая ошибка

Не возводите в куб сами наблюдения вместо отклонений от среднего. Не берите модуль кубов: он уничтожает знак асимметрии. Не смешивайте g₁ и коэффициент с поправкой G₁. Постоянный ряд не имеет определённого g₁ из-за нулевого знаменателя. Нулевой результат не позволяет объявить распределение нормальным.

Практика

Задачи с решением

Симметричный ряд

Условие. Найдите g₁ для 1, 2, 3, 4, 5.

Решение. Среднее 3; m₂=(4+1+0+1+4)/5=2. Кубы −8−1+0+1+8 дают ноль, поэтому g₁=0.

Ответ. 0

Отражение ряда

Условие. Для ряда −1, −2, −2, −3, −7 найдите g₁.

Решение. Среднее −3; m₂=4,4, m₃=−10,8. g₁=−10,8/4,4^(3/2)≈−1,170159.

Ответ. −1,17

Дополнительные источники

https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda35b.htm
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Pearson/

Связанные формулы

Аналитика

Эксцесс распределения: расчёт через четвёртый момент

$g_2=\frac{m_4}{m_2^2}-3,\qquad m_k=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^k$

Эксцесс сравнивает нормированный четвёртый центральный момент с уровнем нормального распределения. В этой записи нормальный закон имеет эксцесс 0, а ненормированный по смещению коэффициент куртозиса равен 3.

Математика

Дисперсия дискретной случайной величины

$D(X)=\sum_i (x_i-M(X))^2p_i$

Формула «Дисперсия дискретной случайной величины» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Среднеквадратическое отклонение случайной величины

$\sigma=\sqrt{D(X)}$

Формула «Среднеквадратическое отклонение случайной величины» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.