Все формулы РФ

Физика / Геометрическая оптика

Отражение света при нормальном падении: формула Френеля

При нормальном падении света на границу двух прозрачных непоглощающих сред доля отражённой мощности равна квадрату отношения разности показателей преломления к их сумме.

Опубликовано: Обновлено:

Геометрическая оптикаШкольная программаЕсть историческая справкаСтраницы с задачами и решениями

Формула

$$R=\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2$$
График Отражённая мощность R, % и Показатель второй среды n₂
Отражённая мощность R, % и Показатель второй среды n₂Отражённая мощность R, %014,961,389,921,7514,92,1319,82,5Показатель второй среды n₂

Первая среда n₁=1. Падение нормальное, граница одиночная, поглощения нет.

Обозначения

$R$
доля отражённой мощности (коэффициент отражения), 1 или %
$n₁$
реальный показатель преломления среды, откуда падает свет, безразмерный
$n₂$
реальный показатель преломления второй среды, безразмерный

Условия применения

Падение нормальное: угол к нормали равен нулю. Обе среды прозрачны и непоглощающие, их показатели преломления реальны и относятся к одной частоте света. Граница считается плоской, магнитные свойства сред близки к вакуумным, а n₁ и n₂ заданы для выбранной длины волны. Формула описывает отражённую мощность, поэтому фазовый сдвиг отражённого поля отдельно не вычисляется.

Ограничения

При косом падении нужно использовать полные s- и p-компоненты формул Френеля: отражение зависит от поляризации и угла. Поглощающие среды требуют комплексных показателей преломления. Шероховатая или многослойная поверхность может рассеивать свет, а тонкая плёнка создаёт интерференцию. Формула не описывает полное внутреннее отражение как отдельный режим при нормальном падении и не включает поглощение внутри слоя.

Подробное объяснение

На границе сред электромагнитное поле должно удовлетворять условиям непрерывности тангенциальных компонент. При нормальном падении симметрия убирает различие между двумя линейными поляризациями, и амплитудный коэффициент отражения получается r=(n₁−n₂)/(n₁+n₂). Детектор обычно измеряет мощность или интенсивность, пропорциональную квадрату амплитуды, поэтому R=|r|². Для реальных положительных n модуль разности меньше суммы, так что 0≤R<1; при одинаковых показателях граница оптически не отражает волну в этой модели.

Знак r сам по себе не означает отрицательную мощность. Если n₂>n₁, отражённое электрическое поле получает фазовый переворот на π; если n₂<n₁, такого переворота нет. После возведения в квадрат эта разница исчезает из R, но становится важной в интерференции. Перестановка n₁ и n₂ меняет знак амплитуды, однако не меняет отражённую долю, поскольку квадрат разности остаётся тем же.

Контраст показателей преломления определяет результат сильнее, чем их абсолютный уровень. При малом Δn можно оценить R≈(Δn/(2n))²: небольшая разница даёт квадратично малое отражение. Для воздух–стекло с n₁≈1 и n₂≈1,5 отражается около четырёх процентов мощности на одной поверхности. У двух одинаковых поверхностей потери нельзя просто приписывать одной границе: нужно учитывать каждую поверхность и возможные многократные отражения.

Формула применяется в оптических окнах, объективных линзах, лазерных элементах и оценке эффективности просветляющих покрытий. Она отвечает на вопрос о нормальной границе, но не заменяет закон Снеллиуса при ненулевом угле. При переходе в поглощающий материал показатель становится комплексным, и простое действительное квадратное выражение уже недостаточно.

Перед подстановкой проверьте, что используются показатели для одной длины волны и температуры. Табличное n для видимого света не обязательно подходит для инфракрасного диапазона из-за дисперсии. Результат R нужно отличать от коэффициента пропускания: для идеальной одиночной непоглощающей границы T=1−R, но в реальном приборе добавляются поглощение, рассеяние и другие поверхности.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что свет падает перпендикулярно плоской границе, а обе среды прозрачны и немагнитны.
  2. Возьмите реальные показатели n₁ и n₂ для одной длины волны; различие частот сделает сравнение неверным.
  3. Разделите разность n₁−n₂ на сумму n₁+n₂, сохранив знак амплитудного коэффициента отражения r.
  4. Возведите r в квадрат, чтобы получить долю мощности R; для процентов умножьте ответ на 100.
  5. При известной падающей мощности умножьте её на R и проверьте баланс R+T=1 для одной границы.

Историческая справка

Формулы отражения и преломления развивались вместе с волновой оптикой в XIX веке. Огюстен-Жан Френель в 1820-х годах исследовал волновую природу света, поляризацию и соотношения амплитуд волн, объясняя наблюдаемые отражение и преломление через поперечные световые колебания. Его работы продолжили линию, начатую законом преломления Снеллиуса и теорией Гюйгенса, а математическая электродинамика Максвелла позднее дала более общий вывод из уравнений поля. Для нормального падения две поляризационные компоненты совпадают, и общие выражения упрощаются до r=(n₁−n₂)/(n₁+n₂). В XX веке эти соотношения стали стандартом расчёта линз, покрытий и лазерной оптики; развитие тонкоплёночных покрытий показало, что фазу отражения нужно учитывать вместе с амплитудой. Поэтому современная формула — частный случай общей теории Френеля для реальных непоглощающих сред, а не отдельное эмпирическое правило.

Историческая линия формулы

Соотношение называют формулой Френеля: оно связано с работами Огюстена-Жана Френеля по волновой оптике и отражению поляризованного света. Современный строгий вывод следует из электромагнитных уравнений Максвелла; запись для нормального падения — частный случай общих коэффициентов Френеля.

Пример

Свет падает по нормали из воды с n₁=1,333 в воздух с n₂=1,000. Падающая мощность 25,0 Вт; среды в модели не поглощают свет. Амплитудный коэффициент r=(1,333−1)/(1,333+1)=0,333/2,333≈0,142735. Доля отражённой мощности R=r²≈0,0203732, или 2,03732%. Значит, Pᵣ=25,0·R≈0,50933 Вт. Для одной идеальной границы T=1−R≈0,979627, а прошедшая мощность составляет около 24,49067 Вт. Проверка: сумма мощностей равна 25,0 Вт, а перестановка сред меняет знак r, сохраняя R. Для перехода воздух–стекло с показателями 1,00 и 1,50 получается r=−0,20 и R=0,040: знак амплитуды обозначает фазовый переворот, а не отрицательную энергию.

Частая ошибка

Часто путают амплитудный коэффициент r с коэффициентом мощности R и сообщают −20% вместо 4%. Нельзя забывать квадрат, подставлять угол в формулу нормального падения или использовать комплексный показатель поглощающей среды как обычное действительное число. Ещё одна ошибка — считать R коэффициентом пропускания без оговорки об отсутствии поглощения. Исправление: сначала определить измеряемую величину, затем проверить модель границы и единый набор n.

Практика

Задачи с решением

Вода–воздух

Условие. n₁=1,333,n₂=1,000,P=25,0 Вт. Найдите R и отражённую мощность.

Решение. r=0,14273467638; R=0,02037318784; Pᵣ=25,0R=0,50933 Вт.

Ответ. R≈2,037%; Pᵣ≈0,50933 Вт

Стекло–воздух

Условие. n₁=1,60,n₂=1,00,P=8,00 Вт.

Решение. R=((1,60−1)/(1,60+1))²=0,05325; Pᵣ=0,426 Вт.

Ответ. R≈5,325%; Pᵣ≈0,426 Вт

Дополнительные источники

  • https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_33.html
  • https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_33.html

Связанные формулы