Все формулы РФ

Физика / Геометрическая оптика

Критический угол: условие полного внутреннего отражения

Критический угол существует при переходе из среды с большим показателем преломления в меньший и задаётся синусом θc=n₂/n₁. При больших углах возникает полное внутреннее отражение.

Опубликовано: Обновлено:

Геометрическая оптикаШкольная программаЕсть историческая справкаСтраницы с задачами и решениями

Формула

$$\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1},\quad n_1>n_2$$
График Критический угол, градусы и Отношение n₂/n₁
Критический угол, градусы и Отношение n₂/n₁Критический угол, градусы00,219,40,38838,80,57558,20,76277,50,95Отношение n₂/n₁

Переход из более оптически плотной среды: n₁>n₂. ПВО возникает при угле падения больше показанного порога.

Обозначения

$θc$
критический угол падения от нормали, градусы или радианы
$n₁$
показатель первой, более оптически плотной среды, безразмерный
$n₂$
показатель второй, менее плотной среды, безразмерный

Условия применения

Переход идёт из среды 1 в среду 2 и n₁>n₂. Среды прозрачны, показатели действительны, граница плоская, а угол измерен от нормали. При θ=θc преломлённый луч скользит вдоль границы и имеет угол 90° к нормали. При θ>θc в идеальной непоглощающей модели преломлённого распространяющегося луча нет, а свет отражается полностью.

Ограничения

Если n₁≤n₂, действительного критического угла для такого перехода нет. Поглощение, шероховатость, туннелирование и конечная толщина слоя нарушают идеальную картину. Нельзя путать критический угол с углом Брюстера или измерять его от поверхности вместо нормали. При дисперсии значение зависит от длины волны.

Подробное объяснение

Критический угол получают из закона Снеллиуса n₁sinθ₁=n₂sinθ₂. На границе режима преломлённый угол θ₂ достигает 90°, поэтому sinθc=n₂/n₁. Это возможно только если отношение меньше единицы, то есть n₁>n₂.

При угле меньше критического существует преломлённая волна, уходящая во вторую среду. При равенстве она идёт вдоль границы. При дальнейшем увеличении угла математическое значение sinθ₂ стало бы больше единицы; физически распространяющийся преломлённый луч исчезает, а энергия отражается обратно. Электромагнитное поле во второй среде всё же может иметь затухающую эванесцентную компоненту у поверхности.

Критический угол зависит только от отношения показателей в этой простой модели. Чем сильнее оптическая плотность первой среды отличается от второй, тем меньше θc. Угол всегда находится между 0° и 90°. В обратном направлении, из воздуха в стекло, полного внутреннего отражения не возникает, потому что n₁<n₂.

В оптоволокне сердцевина имеет больший показатель, чем оболочка, поэтому лучи, попадающие на границу под углом больше критического, удерживаются внутри. В призмах полное отражение может заменить металлическое зеркало и избежать поглощения. Реальные волокна дополнительно имеют потери на изгибах, рассеянии и поглощении.

Для расчёта важно не перепутать угол к поверхности с углом к нормали. Если в условии дан угол к поверхности, его сначала вычитают из 90°. Формула не определяет яркость отражения при шероховатой границе и не отменяет поляризационные коэффициенты Френеля.

Как пользоваться формулой

  1. Установите направление перехода: показатель первой среды должен быть строго больше показателя второй.
  2. Выразите угол падения от нормали; угол, данный к поверхности, предварительно вычтите из 90 градусов.
  3. Вычислите отношение n₂/n₁ и проверьте, что оно находится строго между нулём и единицей.
  4. Найдите арксинус отношения в выбранных угловых единицах; это порог, а не угол любого отражённого луча.
  5. Сравните исходный угол с порогом: при большем угле возникает ПВО, при равенстве — предельное преломление.

Историческая справка

Понятие предельного угла выросло из закона преломления, сформулированного Виллебрордом Снеллиусом в XVII веке и распространённого через работы Декарта. В XIX веке развитие волновой оптики и эксперименты с призмами показали, что при переходе из более плотной среды в менее плотную преломлённый луч достигает границы и исчезает при дальнейшем увеличении угла. Теория Френеля описала при этом амплитуды отражённого и преломлённого полей. В XX веке эффект стал основой стеклянных волокон и призменных оптических устройств. Современная запись sinθc=n₂/n₁ — следствие закона Снеллиуса при θ₂=90°, а не отдельный эмпирический закон; она относится к идеальной границе и требует n₁>n₂.

Историческая линия формулы

Критический угол не имеет единственного автора: он следует из закона Снеллиуса при предельном угле преломления 90°. Полное внутреннее отражение затем получило волновое объяснение в теории Френеля и применение в оптоволокне.

Пример

Свет идёт из стекла n₁=1,50 в воздух n₂=1,00. Так как 1,50>1,00, критический угол существует: θc=arcsin(1,00/1,50)=arcsin(0,6667)=41,81°. При угле падения 30° преломление ещё возможно. При 50° угол больше критического, поэтому в идеальной границе возникает полное внутреннее отражение. На самой границе θ=41,81° преломлённый луч направлен вдоль поверхности. Второй пример: для перехода из среды n₁=√2 в воздух n₂=1, sinθc=1/√2, значит θc=45°. Проверка: при n₁=2 и n₂=1 получаем sinθc=1/2 и θc=30°. Во всех случаях отношение безразмерно и лежит между нулём и единицей, поэтому arcsin имеет физический результат.

Частая ошибка

ПВО невозможно при переходе из среды с меньшим показателем в среду с большим. Если получилось отношение больше единицы, проверьте порядок сред, а не вводите такое число в arcsin. Угол измеряют от нормали, а не поверхности. Не подменяйте условие θ>θc равенством во всех случаях: равенство соответствует преломлённому направлению вдоль границы.

Практика

Задачи с решением

Среда с заданным показателем

Условие. n₁=√2, n₂=1. Найдите критический угол.

Решение. sinθc=1/√2, θc=45°.

Ответ. 45°

Среда с показателем 2

Условие. Для перехода из среды n₁=2,00 в воздух n₂=1,00 найдите θc и режим при θ=35°.

Решение. θc=arcsin0,5=30°; 35°>30°, значит полное внутреннее отражение.

Ответ. θc=30°, ПВО при 35°

Дополнительные источники

  • https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/1-4-total-internal-reflection
  • https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_33.html

Связанные формулы