Все формулы РФ

Физика / Колебания и волны

Критерий Рэлея: угловое разрешение круглой апертуры

Критерий Рэлея задаёт предельное угловое разрешение круглой апертуры: два точечных источника различимы на границе, когда θ≈1,22λ/D.

Опубликовано: Обновлено:

Геометрическая оптикаКолебания и волныЕсть историческая справкаСтраницы с задачами и решениями

Формула

$$\theta_{min}\approx1.22\frac{\lambda}{D}$$
График Угловое разрешение, секунды и Диаметр апертуры D, см
Угловое разрешение, секунды и Диаметр апертуры D, смУгловое разрешение, секунды050,74711,31,4917,52,2423,82,9930Диаметр апертуры D, см

λ=550 нм. Круглая равномерно освещённая апертура без экранирования; атмосфера и аберрации не учтены.

Обозначения

$θmin$
минимальный угловой интервал, рад
$λ$
длина волны, м
$D$
диаметр круглой апертуры, м

Условия применения

Апертура круглая, диаметр значительно больше длины волны, свет монохроматичен, а два источника наблюдаются в дальней зоне. Критерий использует первый минимум дифракционной картины одного источника и максимум второго. Угол мал, поэтому результат выражается в радианах; перевод в угловые секунды выполняется после расчёта. Источники считаются взаимно некогерентными, близкими по яркости, а круглая апертура равномерно освещённой и без центрального экранирования.

Ограничения

Критерий Рэлея не является абсолютной границей для всех методов обработки и не учитывает аберрации, фокусировку, шум детектора и атмосферную турбулентность. Для прямоугольной щели коэффициент иной. При сравнимых с λ размерах апертуры приближение дальней зоны и простая формула требуют осторожности.

Подробное объяснение

Круглая апертура даёт центральный диск Эйри и кольца, потому что волны от разных участков отверстия интерферируют. Первый минимум центрального диска находится при sinθ≈1,22λ/D. Для малых углов sinθ≈θ, поэтому угловой радиус первого минимума равен 1,22λ/D.

Критерий Рэлея считает два изображения предельно различимыми, когда максимум одного диска совпадает с первым минимумом другого. Коэффициент 1,22 — результат геометрии круглой апертуры, а не произвольная поправка. Увеличение D сужает дифракционную картину и уменьшает θmin; увеличение λ, наоборот, ухудшает разрешение.

Угол безразмерен, если λ и D заданы в одних единицах. Для микроскопа часто удобнее связать θ с числовой апертурой, но данная запись относится к диаметру круглого отверстия. После нахождения радиан можно умножить на 206265 для угловых секунд.

Реальная система может иметь предел хуже дифракционного: линзы вносят аберрации, атмосфера размывает звёзды, а шум снижает контраст. Поэтому критерий задаёт идеальный дифракционный ориентир. Он отличается от минимума одиночной щели: там условие a sinθ=mλ, а коэффициент и геометрия апертуры другие.

Как пользоваться формулой

  1. Убедитесь, что используется круглая апертура, а два близких источника рассматриваются в дифракционной модели.
  2. Переведите длину волны и диаметр отверстия в одну единицу; нанометры и миллиметры нельзя делить как числа.
  3. Умножьте отношение λ/D на 1,22; полученное малое угловое расстояние выражено в радианах.
  4. При необходимости переведите радианы в угловые секунды умножением примерно на 206 265.
  5. Сравните результат с угловым разделением источников, оговорив влияние атмосферы, аберраций и шума.

Историческая справка

Критерий связан с работами Джона Уильяма Струтта, лорда Рэлея, по дифракции и разрешению оптических приборов в конце XIX века. Исследования волновой природы света показали, что конечная апертура неизбежно формирует дифракционную картину вместо идеальной точки. Для круглого отверстия математическое решение приводит к диску Эйри и первому нулю функции Бесселя; его положение даёт коэффициент 1,22. Рэлеевское правило стало практическим соглашением для сравнения телескопов и микроскопов. Современная оптика уточняет его через числовую апертуру, функции рассеяния точки и методы вычислительного восстановления, но классический критерий сохраняет роль идеального дифракционного предела.

Историческая линия формулы

Критерий назван в честь лорда Рэлея и основан на дифракционной картине круглой апертуры. Коэффициент 1,22 выводится из положения первого минимума диска Эйри; это идеальный дифракционный предел, а не гарантия качества прибора.

Пример

Для телескопа с круглой апертурой D=0,10 м наблюдается зелёный свет λ=550 нм=5,50·10⁻⁷ м. θmin≈1,22·5,50·10⁻⁷/0,10=6,71·10⁻⁶ рад. В угловых секундах это 6,71·10⁻⁶·206265≈1,38″. Второй расчёт: камера D=4,0 мм и λ=600 нм дают θmin=1,22·6,00·10⁻⁷/4,0·10⁻³=1,83·10⁻⁴ рад≈37,7″. Третий: если диаметр телескопа увеличить с 0,10 до 0,20 м при той же λ, предел уменьшится вдвое до 3,36·10⁻⁶ рад. Проверка пропорциональности подтверждает, что удвоение апертуры улучшает идеальное угловое разрешение в два раза.

Частая ошибка

Не подставляйте радиус отверстия вместо диаметра и не считайте результат сразу градусами. Коэффициент 1,22 относится к круглой апертуре; для одиночной щели геометрия другая. Увеличение изображения на экране само по себе не уменьшает дифракционный угол. Критерий не гарантирует разрешения реальным прибором при сильном шуме или атмосферном размытии.

Практика

Задачи с решением

Красный свет

Условие. λ=650 нм, D=0,20 м. Найдите θmin.

Решение. θ=1,22·650·10⁻⁹/0,20=3,97·10⁻⁶ рад.

Ответ. 3,97·10⁻⁶ рад

Найти апертуру

Условие. θmin=2,44·10⁻⁶ рад, λ=500 нм. Найдите D.

Решение. D=1,22λ/θ=0,250 м.

Ответ. 0,250 м

Дополнительные источники

  • https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/4-5-circular-apertures-and-resolution
  • https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/4-1-single-slit-diffraction

Связанные формулы