Все формулы РФ

Физика / Колебания и волны

Дифракция на одиночной щели: углы тёмных минимумов

Минимумы одиночной щели возникают при a sinθ=mλ для ненулевых целых m; формула описывает разрушительную интерференцию волн от разных частей одной щели.

Опубликовано: Обновлено:

Геометрическая оптикаКолебания и волныЕсть историческая справкаСтраницы с задачами и решениями

Формула

$$a\sin\theta=m\lambda,\quad m=\pm1,\pm2,...$$
График Относительная интенсивность и Угол θ, мрад
Относительная интенсивность и Угол θ, мрадОтносительная интенсивность0-60,27-30,5400,8131,086Угол θ, мрад

Щель 0,30 мм, λ=600 нм, нормальное равномерное освещение. Первые минимумы расположены примерно при ±2 мрад.

Обозначения

$a$
ширина одиночной щели, м
$θ$
угол минимума от центрального направления, рад или градусы
$m$
ненулевой порядок минимума, целое число
$λ$
длина волны, м

Условия применения

Щель равномерно освещается нормально падающей плоской монохроматической волной, экран находится достаточно далеко или используется фокальная плоскость линзы. Условие относится к минимумам интенсивности одиночной щели, m=±1,±2,...; m=0 является центральным максимумом и не подставляется как минимум. Угол выбирается так, чтобы |mλ/a|≤1.

Ограничения

При конечном расстоянии до экрана нужна более точная геометрия Френеля. Реальная щель может иметь неровные края и неидеальное освещение. Нельзя заменять a расстоянием между щелями: это уже другая задача о решётке. Формула задаёт положения минимумов, а не высоту боковых максимумов.

Подробное объяснение

Разные точки широкой щели испускают волны с разными путями к экрану. Для направления θ разность хода между крайними точками равна a sinθ. Если она равна mλ, щель можно разбить на пары участков с разностью пути λ/2, которые гасят друг друга. Поэтому для разрушительной интерференции a sinθ=mλ при ненулевом целом m.

При m=0 разность хода нулевая, волны складываются и получается центральный максимум, поэтому нулевой порядок не является минимумом. Положительные и отрицательные m дают симметричные углы по обе стороны центрального пятна. Первый минимум задаёт половину угловой ширины центрального максимума.

Увеличение ширины щели уменьшает углы: узкая щель сильнее расширяет картину. Более короткая длина волны также даёт меньшие углы при той же щели. Если |mλ/a|>1, соответствующий порядок физически отсутствует, потому что синус не может превышать единицу.

Для малых углов можно использовать sinθ≈θ и оценивать положение на экране как y≈L mλ/a. Но для больших углов нужно вычислять arcsin, иначе ошибка становится заметной. В отличие от решётки, боковые максимумы одиночной щели широки и значительно слабее центрального.

Как пользоваться формулой

  1. Укажите ширину одиночной щели и длину волны в одной среде; переведите их в одинаковые единицы длины.
  2. Выберите ненулевой целый порядок минимума m; значение m=0 соответствует центральному максимуму.
  3. Вычислите mλ/a и проверьте модуль: если он больше единицы, такого минимума в данной модели нет.
  4. Найдите θ=arcsin(mλ/a); приближение θ≈mλ/a применяйте только при малом угле и в радианах.
  5. Для экрана на расстоянии L используйте y=L·tanθ или малое приближение y≈Lmλ/a и укажите его точность.

Историческая справка

Исследования дифракции на узких отверстиях начались с опытов Франческо Гримальди в XVII веке, который заметил отклонение света от прямолинейного распространения. В XIX веке Томас Юнг и Огюстен Френель развили интерференционное объяснение, заменив лучевую картину сложением волн. Для одиночной щели условие минимумов выводится разбиением фронта на пары участков: при разности хода a sinθ=mλ соседние пары гасят друг друга. Позднее теория Гюйгенса–Френеля и интеграл Фраунгофера дали полную зависимость интенсивности sinc². Современная запись a sinθ=mλ сохраняет простую геометрическую форму, но относится именно к одиночной щели и тёмным минимумам, тогда как решётка использует расстояние между множеством щелей и яркие максимумы.

Историческая линия формулы

Формула — результат волновой теории дифракции, развивавшейся от наблюдений Гримальди к интерференционному объяснению Френеля. Единственного автора записи минимумов одиночной щели нет; современная форма следует из условия взаимного гашения участков фронта.

Пример

Лазер λ=600 нм проходит через щель a=0,30 мм=3,0·10⁻⁴ м. Для первого минимума m=1: sinθ=λ/a=6,0·10⁻⁷/(3,0·10⁻⁴)=2,0·10⁻³, поэтому θ≈0,00200 рад=0,1146°. Для второго минимума m=2: sinθ=4,0·10⁻³, θ≈0,00400 рад=0,229°. Если экран на L=2,0 м, расстояния до минимумов при малых углах равны y₁≈Lθ₁=4,0 мм и y₂≈8,0 мм. Третий случай: λ=500 нм и a=5,0 мкм дают sinθ₁=0,10, θ₁≈5,74°, здесь приближение sinθ≈θ даёт ошибку по углу около 0,17%, а положение на экране при L=2,0 м отличается примерно на 0,5%. Проверка: при m=2 угол примерно вдвое больше только в малых углах.

Частая ошибка

Не используйте m=0 как тёмный минимум и не путайте ширину одной щели с периодом решётки. Формально похожее равенство для решётки определяет яркие максимумы. Подстановка θ в градусах вместо sinθ неверна; приближение sinθ≈θ работает для малых радианных углов. Порядок с |mλ/a|>1 отсутствует, а не даёт комплексный наблюдаемый угол.

Практика

Задачи с решением

Первый минимум

Условие. a=0,20 мм, λ=500 нм. Найдите θ₁.

Решение. sinθ=2,5·10⁻³; θ≈2,5·10⁻³ рад.

Ответ. 0,00250 рад

Ширина щели

Условие. λ=600 нм, второй минимум θ₂=30°. Найдите a.

Решение. a=2λ/sin30°=2,4·10⁻⁶ м.

Ответ. 2,4 мкм

Дополнительные источники

  • https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/4-1-single-slit-diffraction
  • https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/4-5-circular-apertures-and-resolution

Связанные формулы