Физика / Волновая оптика и свет

Перемещение зеркала Майкельсона по числу полос

При сдвиге зеркала на Δx путь луча изменяется на 2Δx, поскольку свет проходит изменённый участок туда и обратно. Один период фазы соответствует λ изменения пути, то есть перемещению зеркала на λ/2.

Опубликовано: 11 ноября 2026 г.Обновлено: 11 ноября 2026 г.

Формула

N=\frac{2\Delta x}{\lambda};\quad \Delta x=\frac{N\lambda}{2}

Схема Счёт полос при движении зеркала

По вертикали — изменение фазы в полных оборотах. Целые значения N соответствуют прохождению целого числа полос.

Обозначения

$N$: число прошедших полос, обычно целое, —
$Δx$: перемещение одного зеркала вдоль нормали, м
$λ$: длина волны в среде вдоль плеча, м

Условия применения

Формула применима к интерферометру, где один отражающий элемент перемещают вдоль направления луча, а другой путь остаётся неизменным. Волна должна сохранять достаточную когерентность, чтобы полосы были различимы, а счётчик должен отслеживать один и тот же тип полос без пропусков. λ берут для среды внутри плеча; если известна вакуумная длина λ₀ и показатель преломления n постоянен, то λ=λ₀/n.

Ограничения

Коэффициент 2 относится именно к движению зеркала: луч проходит изменившийся отрезок дважды. Если перемещают источник, экран или весь прибор, геометрия может дать другой коэффициент или зависимость. Наклон зеркала вызывает неоднородное движение полос и может испортить счёт. При изменении показателя преломления изменяется оптическая длина пути даже без механического сдвига, поэтому температурные и воздушные эффекты требуют отдельной поправки.

Подробное объяснение

Интерференционная полоса соответствует определённой фазе разности двух волн. Когда фаза меняется на 2π, рисунок повторяется, и в фиксированной точке проходит одна полоса. Следовательно, счёт полос измеряет не саму фазу, а число её полных циклов между начальным и конечным положениями зеркала.

В схеме Майкельсона луч отражается от подвижного зеркала. Сдвиг зеркала на Δx добавляет Δx к пути до него и ещё Δx к пути обратно; изменение оптического пути равно 2Δx. Для одного периода интерференции это изменение должно составить одну длину волны, откуда N=2Δx/λ.

При заданном перемещении число полос обратно пропорционально λ: на более короткой волне тот же сдвиг даёт больше циклов. И наоборот, сдвиг, соответствующий одной полосе, равен λ/2. Это половинный шаг нельзя переносить на установку, где путь изменяется только в одном направлении.

В лабораторной работе выбирают точку или перекрестие на экране, плавно двигают зеркало и считают прохождение полос одного цвета/типа. Для уменьшения случайной ошибки полезно считать много циклов и делить восстановленное перемещение на N. По известному лазеру так калибруют микропривод; при известном приводе оценивают длину волны.

Счёт полос даёт модуль перемещения, если направление не фиксируют отдельно. Полосы могут проходить в противоположных направлениях при обращении движения зеркала. Знак Δx задают по направлению перемещения или по фазовой конвенции, а не из одного только положительного числа N.

Как пользоваться формулой

Уточните, что движется именно зеркало в одном плече: из-за двойного хода изменение пути равно удвоенному сдвигу зеркала.
Подсчитайте полные полосы одного типа, прошедшие через фиксированную точку, и запишите N без пропусков.
Возьмите длину волны в среде; при необходимости пересчитайте вакуумную длину как λ=λ₀/n.
Подставьте N и λ в Δx=Nλ/2 либо вычислите N=2Δx/λ; все длины предварительно выразите в метрах.
Проверьте порядок величины: один цикл соответствует перемещению зеркала на половину волны, а не на целую волну.

Историческая справка

Интерферометрия развивалась вместе с волновой оптикой XIX века: наблюдаемое смещение полос стало способом превращать фазовую разность в видимый и счётный сигнал. Томас Юнг опубликовал изложение принципа интерференции в 1802 году, а позднее измерительные приборы позволили сравнивать оптические пути по сдвигу картины.

В 1887 году Альберт Майкельсон и Эдвард Морли опубликовали опыт, в котором положение полос служило мерой различия между двумя оптическими путями. Конструкция делит свет на два плеча и снова совмещает лучи. При перемещении отражателя фазовое изменение усиливается двойным проходом, что и делает прибор чувствительным к очень малым сдвигам.

Формула N=2Δx/λ — не отдельный исторический закон с единственным автором, а прямое следствие геометрии двухходового плеча и условия повторения фазы через 2π. Современные приборы автоматизируют подсчёт, но физическая калибровка остаётся той же. В реальной установке точность ограничивают стабильность длины волны, среды и механики.

Историческая линия формулы

Интерференционный принцип связан с работами Юнга, а интерферометр Майкельсона стал важным инструментом точного сравнения оптических путей в конце XIX века. Соотношение N=2Δx/λ следует из двойного прохождения пути при движении зеркала и не требует приписывать эту геометрическую формулу одному автору.

Пример

В интерферометре Майкельсона зеркало сдвинули, и через метку прошло 120 полос лазера с длиной волны в воздухе 600 нм. Найдите модуль сдвига. Дано: N=120, λ=600 нм=6,00·10⁻⁷ м. Найти Δx. Δx=Nλ/2=120·6,00·10⁻⁷/2=3,60·10⁻⁵ м. Проверка обратной подстановкой: 2Δx/λ=2·3,60·10⁻⁵/(6,00·10⁻⁷)=120. Размерность: м/м безразмерна. Ответ: зеркало переместили на 36 мкм. При подсчёте 120 циклов ошибка даже в одной полосе дала бы сдвиг 0,30 мкм, поэтому длинная серия уменьшает относительную ошибку счёта. Это измерение модуля смещения; направление задают отдельно.

Частая ошибка

Забывают двойной проход луча и пишут N=Δx/λ. Для подвижного зеркала меняются оба отрезка плеча, поэтому следует учитывать 2Δx. Подставляют λ₀ без оговорки, хотя свет проходит в среде с заметным показателем преломления. Используйте длину волны в среде либо явно включите n. Считают лишь светлые полосы, но фиксируют иной цветовой максимум или теряют полосы во время быстрого движения. Нужна последовательная регистрация одной и той же фазовой метки. Объявляют полученный знак перемещения по числу полос. Обычный счёт даёт число циклов и модуль; направление устанавливают по направлению движения или фазовой схеме.

Практика

Задачи с решением

Калибровка микропривода

Условие. При сдвиге зеркала на 20 мкм прошло 80 полос. Найдите длину волны.

Решение. λ=2Δx/N=2·20 мкм/80=0,50 мкм. Проверка: N=2Δx/λ=80; ответ находится в видимом диапазоне.

Ответ. Ответ: λ=500 нм.

Число полных периодов

Условие. Зеркало медленно сдвинули вдоль луча на 1,2 мкм при длине волны 480 нм. Сколько полных периодов прошло от начальной фазы?

Решение. Один полный период соответствует перемещению на 0,24 мкм. Деление 1,2/0,24 даёт пять периодов. Можно проверить по 2Δx/λ: двойной путь составляет 2,4 мкм.

Ответ. Пять полных периодов.

Дополнительные источники

https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/3-5-the-michelson-interferometer
https://ajsonline.org/article/62505-on-the-relative-motion-of-the-earth-and-the-luminiferous-ether
https://doi.org/10.1098/rstl.1802.0004

Связанные формулы

Физика

Видность интерференционных полос при разной интенсивности

$V=\frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}=\frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}$

Видность полос показывает, насколько хорошо различаются светлые и тёмные участки интерференционной картины. Для двух когерентных волн она определяется отношением их интенсивностей: при равных интенсивностях полосы наиболее контрастны, а при сильном дисбалансе становятся почти незаметными.

Физика

Условие максимума

$\Delta=m\lambda$

Интерференционный максимум возникает, когда разность хода равна целому числу длин волн: Delta = m lambda. Тогда колебания усиливают друг друга.

Физика

Условие минимума

$\Delta=\left(m+\frac12\right)\lambda$

Интерференционный минимум возникает, когда разность хода равна полуцелому числу длин волн: Delta = (m + 1/2) lambda. Волны взаимно ослабляются.

Физика

Монохроматический свет

$c=\lambda\nu$

Для монохроматического света частота и длина волны связаны скоростью распространения: c = lambda nu в вакууме или v = lambda nu в среде.