Физика / Волновая оптика и свет
Видность интерференционных полос при разной интенсивности
Видность полос показывает, насколько хорошо различаются светлые и тёмные участки интерференционной картины. Для двух когерентных волн она определяется отношением их интенсивностей: при равных интенсивностях полосы наиболее контрастны, а при сильном дисбалансе становятся почти незаметными.
Формула
По горизонтали — отношение слабого пучка к сильному; кривая показывает V.
Обозначения
- $V$
- видность полос; безразмерная величина, —
- $I_{max}$
- интенсивность в светлом максимуме, Вт/м²
- $I_{min}$
- интенсивность в тёмном минимуме, Вт/м²
- $I_1,I_2$
- интенсивности двух интерферирующих волн, Вт/м²
Условия применения
Выражение через I₁ и I₂ относится к полностью когерентным монохроматическим волнам одинаковой частоты с параллельными линейными поляризациями. За время измерения фазовый сдвиг в каждой точке должен оставаться устойчивым. Сравнивайте соседние экстремумы там, где интенсивности отдельных пучков почти не меняются, и вычитайте постоянный фон.
Ограничения
При частичной когерентности, усреднении по времени, спектральной ширине или неодинаковой поляризации видность дополнительно уменьшается. Общая формула тогда содержит степень когерентности и коэффициент перекрытия поляризаций; найденное из V отношение интенсивностей без этих поправок будет неверным. Постоянный фон также занижает измеренную видность. V лежит от 0 до 1, а результат за пределами этого интервала указывает на ошибку измерения или обработки.
Подробное объяснение
При перемещении по интерференционной картине фаза одной волны относительно другой меняется. В одних точках колебания складываются, в других частично гасят друг друга. Видность V сравнивает размах этих изменений с их средним уровнем: единица означает максимально выраженные светлые и тёмные полосы, ноль — отсутствие модуляции.
Для одинаково направленных поляризаций интенсивность суммы двух волн равна I₁+I₂+2√(I₁I₂)cosφ. Максимум достигается при cosφ=1, минимум — при cosφ=−1. Поэтому Imax=(√I₁+√I₂)², а Imin=(√I₁−√I₂)². Подстановка этих значений в определение видности даёт формулу через интенсивности отдельных пучков.
Если I₁=I₂, минимум идеальной картины равен нулю и V=1. Если один пучок ослабить, минимум уже не исчезает: слабая волна не может полностью компенсировать сильную. При отношении интенсивностей 4:1 видность равна 0,8; при стремлении одной интенсивности к нулю видность тоже стремится к нулю. Перестановка пучков ничего не меняет.
На практике видность позволяет настроить баланс плеч интерферометра или освещённость щелей. Она также даёт простой диагностический показатель качества полос: сравнивать можно камеры, настройки и участки поля при одинаковой экспозиции и вычтенном фоне. Измеряют яркости соседних светлой и тёмной полос, а затем подставляют их в исходное определение.
Не следует путать видность с разностью Imax−Imin: одна и та же разность может соответствовать разному среднему уровню освещённости. Нормировка на сумму делает V безразмерной и позволяет сравнивать картины разной яркости. Но нормировка сама по себе не устраняет влияние фонового света и конечного разрешения прибора.
Как пользоваться формулой
- Определите интенсивности соседних максимума и минимума в одной и той же картине, предварительно вычтя известный постоянный фон.
- Если требуется видность, подставьте Imax и Imin в отношение их разности к сумме; убедитесь, что оба значения выражены в одинаковых единицах.
- Если известны интенсивности отдельных пучков, используйте формулу с квадратным корнем; единицы сократятся и V получится безразмерной.
- Чтобы восстановить баланс пучков по видности, положите r=I₂/I₁ и решите V=2√r/(1+r); возможны взаимно обратные отношения r и 1/r.
- Проверьте границы: для физических положительных интенсивностей результат должен быть от 0 до 1, а V=1 соответствует равным пучкам.
Историческая справка
В начале XIX века интерференция стала одним из главных аргументов в пользу волнового описания света. Томас Юнг представил Бейкеровскую лекцию «О теории света и цветов» в 1801 году; текст был опубликован в Philosophical Transactions в 1802 году. Он обсуждал наложение световых волн и полосы как следствие их взаимного усиления и ослабления. Это исторический контекст принципа интерференции, а не утверждение, будто современная формула видности уже была записана Юнгом.
В современных интерферометрах полосы стали количественным измерительным инструментом. В современной волновой оптике складывают амплитуды полей, после чего интенсивность содержит перекрёстный член. Для двух волн его величина пропорциональна геометрическому среднему √(I₁I₂), что объясняет зависимость контраста от баланса.
Определение через наблюдаемые крайние интенсивности удобно для эксперимента и не требует абсолютной калибровки фотодетектора, если он линеен. Формула для двух пучков следует из интерференционного закона при полной когерентности и согласованных поляризациях. В более общих случаях вводят комплексную степень когерентности, поэтому дисбаланс интенсивностей следует отделять от потери когерентности.
Историческая линия формулы
Принцип интерференции света связан с развитием волновой оптики, в частности с работами Томаса Юнга, опубликованными в 1802 году. Нынешнее определение видности как нормированного контраста и выражение через две интенсивности — стандартный результат волновой оптики, а не формула, которую следует приписывать одному автору.
Пример
На экране измерили интенсивность светлой полосы 90 усл. ед. и соседней тёмной полосы 10 усл. ед. Найдите видность и оцените контраст картины. Дано: Imax=90 усл. ед., Imin=10 усл. ед. Найти V. Единицы одинаковы, поэтому в отношении они сократятся. V=(Imax−Imin)/(Imax+Imin)=(90−10)/(90+10)=80/100=0,80. Проверка: 0≤0,80≤1; минимум положителен, значит полосы контрастны, но не идеальны. При идеальном равенстве двух пучков минимум был бы нулевым и V равнялась бы 1. Ответ: V=0,80, или 80% максимальной видности.
Частая ошибка
Подставляют разность максимумов вместо нормированного отношения. Это число имеет единицы интенсивности и зависит от яркости источника; нужно делить разность на сумму. Считают, что V=1 возможна только для одной конкретной абсолютной яркости. Видность зависит от относительного баланса пучков, поэтому оба значения можно одновременно умножить на один коэффициент. Выводят отношение пучков из видности, забывая, что перестановка I₁ и I₂ не меняет картину. Из V получаются два взаимно обратных отношения; какой пучок сильнее, определяют отдельно. Используют измеренные яркости без вычитания фона или при заметной частичной когерентности. Тогда наблюдаемая видность ниже идеальной и не позволяет напрямую восстановить дисбаланс.
Практика
Задачи с решением
Видность по измеренным полосам
Условие. Светлая полоса имеет интенсивность 75 усл. ед., тёмная — 25 усл. ед. Найдите видность.
Решение. V=(75−25)/(75+25)=50/100=0,50. Проверка: число безразмерно и находится между 0 и 1; минимум составляет треть максимума.
Ответ. Ответ: V=0,50.
Видность при заданных интенсивностях
Условие. Два когерентных пучка имеют интенсивности I₁=9 мВт/м² и I₂=1 мВт/м². Найдите идеальную видность.
Решение. V=2√(I₁I₂)/(I₁+I₂)=2√9/10=6/10=0,60. Размерность сокращается: числитель и знаменатель имеют единицы интенсивности. Результат ниже единицы, поскольку пучки не равны.
Ответ. Ответ: V=0,60.
Дополнительные источники
- https://doi.org/10.1098/rstl.1802.0004
- https://interactivetextbooks.tudelft.nl/tn2421/content/Chap5_Interference/InterferenceCoherence_2022_01Clean.html
- https://arxiv.org/abs/2206.05242
Связанные формулы
Физика
Условие максимума
Интерференционный максимум возникает, когда разность хода равна целому числу длин волн: Delta = m lambda. Тогда колебания усиливают друг друга.
Физика
Условие минимума
Интерференционный минимум возникает, когда разность хода равна полуцелому числу длин волн: Delta = (m + 1/2) lambda. Волны взаимно ослабляются.
Физика
Монохроматический свет
Для монохроматического света частота и длина волны связаны скоростью распространения: c = lambda nu в вакууме или v = lambda nu в среде.
Физика
Максимумы дифракционной решетки
Максимумы дифракционной решетки: формула d\sin\varphi=m\lambda помогает величины d, phi, m, lambda заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.