Физика / Механика
Потенциальная энергия в поле тяжести
Потенциальная энергия тела около поверхности Земли равна произведению массы, ускорения свободного падения и высоты относительно выбранного нулевого уровня.
Формула
Перед подстановкой чисел полезно сверить модель на рисунке: траектория, компоненты скорости и высота.
Обозначения
- $E_p$
- потенциальная энергия тела, Дж
- $m$
- масса тела, кг
- $g$
- ускорение свободного падения, м/с^2
- $h$
- высота над выбранным нулевым уровнем, м
Условия применения
- Высота отсчитывается от заранее выбранного уровня, где энергия принята равной нулю.
- Поле тяжести считают однородным, а g - постоянным на рассматриваемой высоте.
- Сопротивление воздуха и потери учитываются отдельно, если нужна реальная энергия движения.
Ограничения
- На больших высотах и в небесной механике нужно использовать гравитационную энергию вида -GMm/r.
- Значение Ep зависит от выбора нулевого уровня, поэтому физический смысл обычно имеет изменение энергии.
- Формула не учитывает внутреннюю энергию тела, деформации и энергию вращения.
Подробное объяснение
Потенциальная энергия в поле тяжести показывает запас энергии, связанный с положением тела. Если тело поднято выше, сила тяжести может совершить над ним большую работу при падении. В школьной модели около поверхности Земли сила тяжести почти постоянна и равна mg, поэтому работа при подъеме на высоту h равна mgh.
Нулевой уровень выбирают по удобству задачи. Для книги на столе можно считать нулем пол, поверхность стола или любую другую горизонтальную плоскость. Само значение Ep изменится, но изменение энергии между двумя высотами будет одинаковым. Именно изменение потенциальной энергии связано с работой силы тяжести.
Формула тесно связана с законом сохранения механической энергии. Если сопротивление мало, сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной. При падении h уменьшается, Ep убывает, а кинетическая энергия растет. При подъеме происходит обратный процесс: внешняя сила совершает работу, увеличивая потенциальную энергию.
В задачах важно следить за знаками и уровнем отсчета. Если тело движется вниз, изменение потенциальной энергии отрицательно, а работа силы тяжести положительна. Если тело поднимают вверх, потенциальная энергия растет, а сила тяжести совершает отрицательную работу. Такая проверка помогает не потерять физический смысл за формальной подстановкой.
Как пользоваться формулой
- Выберите нулевой уровень высоты.
- Переведите массу и высоту в килограммы и метры.
- Подставьте m, g и h в формулу Ep = mgh.
- Для процессов сравнивайте изменение энергии между начальной и конечной высотой.
Историческая справка
Понятие потенциальной энергии сформировалось после работ Галилея, Гюйгенса, Лейбница, Бернулли и других ученых, которые постепенно связывали движение с работой и сохранением живой силы. В XIX веке, когда закон сохранения энергии получил общий вид, стало удобно разделять энергию на кинетическую и потенциальную. Для тяжести около поверхности Земли простая запись mgh отражает работу против почти постоянной силы mg. Она вошла в школьную и инженерную механику как базовый способ считать запас энергии при подъеме грузов, работе механизмов и превращении энергии при падении. Современная физика рассматривает ее как приближение более общей гравитационной потенциальной энергии.
Пример
Ящик массой 12 кг подняли на полку высотой 1,8 м относительно пола. Принимаем пол за нулевой уровень и берем g = 9,8 м/с². Тогда Ep = mgh = 12·9,8·1,8 = 211,68 Дж, то есть примерно 212 Дж. Это энергия, которую ящик получил за счет работы подъемной силы при медленном подъеме без потерь. Если тот же ящик потом упадет на пол и сопротивлением воздуха можно пренебречь, эта потенциальная энергия перейдет в кинетическую перед ударом. Если нулевой уровень выбрать на высоте полки, энергия ящика на полке стала бы нулевой, а на полу отрицательной; разность осталась бы той же.
Частая ошибка
Частая ошибка - считать высоту абсолютной величиной, хотя она всегда отсчитывается от выбранного нулевого уровня. Вторая ошибка - использовать массу в граммах или высоту в сантиметрах без перевода в СИ. Третья ошибка - думать, что потенциальная энергия всегда положительна: при другом выборе нуля она может быть отрицательной. Еще одна ошибка - применять mgh к спутникам и планетам на больших расстояниях.
Практика
Задачи с решением
Энергия поднятого тела
Условие. Мяч массой 0,5 кг находится на высоте 4 м. Найдите Ep при g = 10 м/с².
Решение. Ep = mgh = 0,5·10·4 = 20 Дж.
Ответ. 20 Дж
Высота по энергии
Условие. Груз массой 2 кг имеет потенциальную энергию 98 Дж относительно пола. Найдите высоту.
Решение. h = Ep/(mg) = 98/(2·9,8) = 5 м.
Ответ. 5 м
Дополнительные источники
- OpenStax College Physics 2e: Gravitational Potential Energy
Связанные формулы
Физика
Потенциальная энергия упруго деформированного тела
Потенциальная энергия упругой деформации равна половине произведения жесткости на квадрат растяжения или сжатия и показывает запас энергии в пружине.
Физика
Закон сохранения механической энергии
Закон сохранения механической энергии утверждает, что сумма кинетической и потенциальной энергий сохраняется, если действуют только консервативные силы.
Физика
Кинетическая энергия тела
Кинетическая энергия тела равна половине произведения массы на квадрат скорости и показывает запас энергии движения тела.