Все формулы РФ

Физика / Механика

Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения механической энергии утверждает, что сумма кинетической и потенциальной энергий сохраняется, если действуют только консервативные силы.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по физике за 9 классФормулы по физике для ОГЭМеханикаРабота, энергия и мощностьКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$E_k+E_p=\text{const}$$
Энергетическая диаграмма Переход потенциальной энергии в кинетическую

На диаграмме столбец полной механической энергии постоянен, а доли Ek и Ep меняются при движении тела вниз.

Без потерь меняется форма энергии, но не ее сумма.

Обозначения

$E_k$
кинетическая энергия, Дж
$E_p$
потенциальная энергия, Дж
$const$
постоянная сумма механической энергии, Дж

Условия применения

  • В системе действуют только консервативные силы или потерями можно пренебречь.
  • Кинетическая и потенциальная энергии относятся к одной и той же выбранной системе.
  • Начальное и конечное состояния сравниваются в одной системе отсчета и с одним уровнем отсчета потенциальной энергии.

Ограничения

  • При трении, сопротивлении воздуха, неупругих ударах и нагревании механическая энергия обычно не сохраняется.
  • Закон не означает исчезновения энергии: при потерях механическая энергия переходит во внутреннюю энергию, звук или тепло.
  • Нужно явно выбрать нулевой уровень потенциальной энергии, иначе можно запутаться в знаках.

Подробное объяснение

Механическая энергия складывается из энергии движения и энергии положения или деформации. Если силы только перераспределяют энергию между этими формами, сумма Ek + Ep остается постоянной. Например, при падении уменьшается потенциальная энергия, но увеличивается кинетическая. Закон удобен тем, что позволяет сравнивать начальное и конечное состояния. Не нужно знать, как именно менялась скорость в каждой точке траектории, если потери отсутствуют и силы консервативны. Это часто делает решение короче, чем через динамику. В школьных задачах потенциальная энергия обычно гравитационная mgh или энергия упругой деформации. Но сама запись Ek + Ep = const является общей идеей: механическая энергия сохраняется в идеализированной системе. Если есть трение, механическая энергия уменьшается, но полная энергия не исчезает. Она переходит во внутреннюю энергию, нагрев, звук и деформации. Поэтому важно читать условие: «трением пренебречь» является не пустой фразой, а условием применимости закона. На ОГЭ закон сохранения механической энергии часто связывает высоту и скорость. При аккуратной записи начального и конечного состояния можно избежать лишних уравнений движения.

Как пользоваться формулой

  1. Определите начальное и конечное состояния системы.
  2. Проверьте, можно ли пренебречь трением и сопротивлением.
  3. Запишите кинетическую и потенциальную энергии в начальном состоянии.
  4. Запишите эти энергии в конечном состоянии.
  5. Приравняйте суммы и найдите неизвестную величину.

Историческая справка

Закон сохранения энергии оформился в XIX веке, когда механика, теплота и электричество стали рассматриваться через единую энергетическую картину. Джеймс Джоуль экспериментально показывал связь работы и теплоты, а развитие механики консервативных сил позволило строго описывать превращения кинетической и потенциальной энергии. В школьной механике закон сохранения механической энергии является частным случаем общего закона сохранения энергии. Он особенно полезен тем, что связывает высоту, скорость и деформацию без подробного анализа траектории. В учебных задачах этот закон стал одним из самых экономных методов решения: вместо описания всего движения достаточно сравнить начальное и конечное состояния. Поэтому он хорошо показывает силу энергетического подхода в физике.

Историческая линия формулы

Закон сохранения механической энергии не принадлежит одному автору. Он возник из развития классической механики и общего закона сохранения энергии; Джоуль важен для энергетического контекста, а ньютоновская механика дает основу для сил и движения.

Джеймс Джоуль 1818-1889Исаак Ньютон 1643-1727

Пример

Тело массой 1 кг падает с высоты 5 м без сопротивления воздуха. В верхней точке скорость нулевая, поэтому Ek = 0, а потенциальная энергия Ep = mgh = 1*10*5 = 50 Дж. Перед землей высота почти равна нулю, значит Ep ≈ 0, а вся энергия переходит в кинетическую: Ek = 50 Дж. Тогда mv^2/2 = 50, v^2 = 100, v = 10 м/с. Проверка: результат совпадает с формулой v^2 = 2gh при g = 10 м/с^2. Если учитывать сопротивление воздуха, скорость была бы меньше, потому что часть механической энергии перешла бы во внутреннюю энергию воздуха и тела.

Частая ошибка

Частая ошибка - применять сохранение механической энергии при наличии заметного трения без учета потерь. Вторая ошибка - считать, что потенциальная энергия всегда равна mgh без выбора нулевого уровня. Третья ошибка - забывать кинетическую энергию в начальном состоянии, если тело уже двигалось. Еще одна ошибка - думать, что при несохранении механической энергии нарушается закон сохранения энергии вообще; на самом деле энергия переходит в другие формы.

Практика

Задачи с решением

Падение с высоты

Условие. Тело падает без сопротивления с высоты 20 м из состояния покоя. Примите g = 10 м/с^2. Найдите скорость у земли.

Решение. mgh = mv^2/2. Масса сокращается. v^2 = 2gh = 2*10*20 = 400, v = 20 м/с.

Ответ. 20 м/с

Подъем тела

Условие. Тело бросили вверх со скоростью 10 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 10 м/с^2. На какую высоту оно поднимется?

Решение. mv^2/2 = mgh. h = v^2/(2g) = 100/20 = 5 м.

Ответ. 5 м

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax College Physics 2e, раздел Conservative Forces and Potential Energy
  • OpenStax College Physics 2e, раздел Conservation of Energy

Связанные формулы

Физика

Кинетическая энергия тела

$E_k=\frac{mv^2}{2}$

Кинетическая энергия тела равна половине произведения массы на квадрат скорости и показывает запас энергии движения тела.

Физика

Работа силы

$A = Fs\cos\alpha$

Работа постоянной силы равна произведению модуля силы, перемещения и cos угла между ними. Она показывает вклад силы в изменение энергии тела.