Аналитика / Описательная статистика

Корреляция Спирмена: связь между рангами величин

Коэффициент Спирмена измеряет согласованность порядка двух величин. Формула через квадраты разностей рангов применяется без совпадающих значений; при связках используют корреляцию средних рангов.

Опубликовано: 17 октября 2026 г.Обновлено: 17 октября 2026 г.

Формула

r_s=1-\frac{6\sum_{i=1}^{n}d_i^2}{n(n^2-1)}

Схема Разности рангов и их квадраты

Сумма d² равна 4; коэффициент Спирмена равен 0,8.

Обозначения

$rₛ$: коэффициент Спирмена, безразмерная величина
$n$: число полных пар наблюдений, безразмерная величина
$i$: номер пары, безразмерная величина
$dᵢ$: разность рангов двух значений в паре, безразмерная величина

Условия применения

Для показанной сокращённой формулы n≥2, все значения внутри каждой переменной различны, пропуски удалены попарно. Ранги обеих переменных назначают в одном направлении: от меньшего к большему. Для статистического вывода дополнительно нужны подходящие условия выборки.

Ограничения

При одинаковых значениях сокращённую формулу без поправок не используют: совпавшим значениям назначают средние ранги и вычисляют корреляцию Пирсона этих рангов. Для постоянной переменной коэффициент не определён. Нулевая ранговая корреляция не исключает немонотонной зависимости.

Подробное объяснение

Ранг заменяет значение его местом в упорядоченной выборке. Если обе величины растут в одном порядке, ранги каждой пары совпадают, все dᵢ равны нулю и rₛ=1. Если один порядок полностью обратен другому, получается rₛ=−1. Между этими крайностями коэффициент отражает степень согласованности.

Общее определение Спирмена — обычная корреляция Пирсона между рангами. Без связок обе последовательности рангов содержат числа 1,…,n и имеют одинаковые среднее и дисперсию. Раскрытие суммы квадратов разностей приводит к сокращённой формуле с множителем 6.

Квадрат dᵢ² сильнее учитывает большие расхождения позиций. Однако расстояния между исходными значениями уже не участвуют: замена каждого значения строго возрастающей функцией сохраняет ранги и коэффициент. Поэтому рост по экспоненте может дать rₛ=1, хотя исходные точки не лежат на прямой.

Совпадения значений меняют набор рангов. Например, два значения, занявшие места 2 и 3, получают ранг 2,5 каждое. После этого формула 1−6Σd²/[n(n²−1)] уже не является общим определением; безопаснее вернуться к корреляции полученных средних рангов.

Коэффициент описывает данные, а не автоматически выдаёт p-value или доверительный интервал. На маленькой выборке даже крупное значение требует отдельной проверки значимости. Перед интерпретацией полезно посмотреть диаграмму рассеяния: U-образная связь может исчезнуть в одной числовой мере монотонности.

Как пользоваться формулой

Составьте полные пары наблюдений и проверьте, есть ли одинаковые значения внутри каждой переменной.
Назначьте обоим столбцам ранги по возрастанию, сохраняя соответствие исходных пар наблюдений.
При отсутствии связок найдите разности рангов dᵢ, возведите каждую в квадрат и сложите результаты.
Подставьте n и сумму квадратов в формулу; при связках вычислите корреляцию Пирсона средних рангов.

Историческая справка

Ранговый коэффициент носит имя Чарльза Спирмена и входит в традицию непараметрического анализа связи. Его современное определение удобно описывать через уже знакомую корреляцию Пирсона после преобразования данных в ранги. В документации статистического языка R и справочнике NIST подчёркивается роль средних рангов при совпадениях. В учебной практике XX–XXI веков сокращённая формула через разности рангов стала популярна благодаря возможности ручного вычисления на небольших таблицах. Однако её простота иногда скрывает ограничение на отсутствие связок. Современные вычислительные реализации используют общее ранговое определение и отдельно решают задачу проверки гипотезы. Такая история объясняет различие между удобной учебной записью и полным статистическим методом.

Историческая линия формулы

Коэффициент называется корреляцией Спирмена; используемая здесь формула — её частная запись для рангов без совпадений. Общее определение через корреляцию средних рангов подтверждается документацией R и NIST. Выбор точного или приближённого теста значимости является отдельным шагом.

Пример

Пять объектов упорядочены по первому показателю как 1,2,3,4,5. Их ранги по второму показателю в том же порядке равны 1,3,2,5,4. Совпадений внутри каждого рейтинга нет. Разности рангов: 0,−1,1,−1,1; сумма квадратов равна 4. Тогда rₛ = 1 − 6·4/[5·(25−1)] = 1 − 24/120 = 0,8. Значит, порядки заметно согласованы, но две соседние пары поменялись местами. Проверка через корреляцию рангов: их средние равны 3, сумма произведений отклонений равна 8, обе суммы квадратов отклонений равны 10; 8/√(10·10)=0,8. Коэффициент безразмерен. Это описание пяти пар, а не доказательство причинной связи.

Частая ошибка

Не сортируйте столбцы независимо с потерей пар: это искусственно даст идеальную связь. Не подставляйте разности исходных измерений вместо рангов. Не используйте сокращённую формулу при связках без проверки. Не называйте rₛ² долей объяснённой дисперсии исходных значений и не считайте коэффициент тестом причинности.

Практика

Задачи с решением

Обратный рейтинг

Условие. Для трёх объектов ранги X = (1,2,3), Y = (3,2,1). Найдите rₛ.

Решение. Разности −2,0,2 дают сумму квадратов 8. rₛ = 1 − 6·8/(3·8) = −1.

Ответ. −1

Одна перестановка

Условие. Ранги X = (1,2,3,4), Y = (1,3,2,4). Найдите rₛ.

Решение. Сумма квадратов разностей 0+1+1+0 = 2. rₛ = 1 − 12/(4·15) = 0,8.

Ответ. 0,8

Дополнительные источники

https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/cor.html
https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman1/auxillar/rankcorr.htm

Связанные формулы

Математика

Коэффициент корреляции Пирсона

$r=\frac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum (x_i-\bar x)^2\sum (y_i-\bar y)^2}}$

Формула «Коэффициент корреляции Пирсона» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Аналитика

Коэффициент Кендалла тау-а: согласованные пары

$\tau_a=\frac{C-D}{\binom{n}{2}}=\frac{2(C-D)}{n(n-1)}$

Коэффициент Кендалла тау-а сравнивает числа согласованных и несогласованных пар наблюдений. Без совпадений это разность долей пар с одинаковым и противоположным порядком двух показателей.

Математика

Ковариация двух случайных величин

$\operatorname{Cov}(X,Y)=M[(X-MX)(Y-MY)]$

Формула «Ковариация двух случайных величин» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.