Аналитика / Описательная статистика

Коэффициент Кендалла тау-а: согласованные пары

Коэффициент Кендалла тау-а сравнивает числа согласованных и несогласованных пар наблюдений. Без совпадений это разность долей пар с одинаковым и противоположным порядком двух показателей.

Опубликовано: 17 октября 2026 г.Обновлено: 17 октября 2026 г.

Формула

\tau_a=\frac{C-D}{\binom{n}{2}}=\frac{2(C-D)}{n(n-1)}

Схема Шесть пар четырёх объектов

Пять согласованных пар и одна несогласованная.

Обозначения

$τₐ$: коэффициент Кендалла тау-а, безразмерная величина
$C$: число согласованных пар, безразмерная величина
$D$: число несогласованных пар, безразмерная величина
$n$: число наблюдений, безразмерная величина

Условия применения

n≥2, пары наблюдений сохраняются. Для интерпретации полного диапазона от −1 до 1 в этой статье предполагается отсутствие совпадений в обеих переменных. Согласованность пары определяют знаком произведения двух разностей; каждая неупорядоченная пара учитывается один раз.

Ограничения

При связках тау-а сохраняет знаменатель C(n,2), но совпавшие пары не входят в C или D, поэтому даже одинаковые рейтинги со связками могут дать меньше единицы. Для нормировки с учётом связок обычно используют тау-b. Статистическую значимость и причинность тау-а сам по себе не устанавливает.

Подробное объяснение

Возьмём два наблюдения i и j. Если большему X соответствует большее Y, пара согласована. Если большему X соответствует меньшее Y, пара несогласована. Эквивалентно смотрят на знак (Xᵢ−Xⱼ)(Yᵢ−Yⱼ): положительный знак добавляет единицу к C, отрицательный — к D.

Всего из n наблюдений можно выбрать n(n−1)/2 неупорядоченных пар. При отсутствии совпадений каждая относится ровно к одной из двух групп, так что C+D равно этому числу. Коэффициент представляет средний знак попарной согласованности.

После сортировки по X задача сводится к подсчёту инверсий в Y. Каждая пара, в которой более раннее значение Y больше позднего, добавляет единицу к D; остальные пары добавляют к C. Это позволяет проверить ручной подсчёт, не сравнивая разности X заново.

Значение 1 означает полное совпадение порядков, −1 — полное обращение. При равном количестве согласованных и несогласованных пар результат нулевой. Но ноль не означает независимость: закономерная немонотонная связь тоже может уравновесить эти количества.

Коэффициент Спирмена использует расстояния между рангами, а тау-а — только знаки попарных сравнений. Поэтому их численные значения на одной таблице обычно различаются. Сравнивать их как две оценки одного и того же числового параметра без указания метода некорректно.

Как пользоваться формулой

Удалите неполные пары наблюдений и проверьте совпадения; при связках заранее выберите вид тау.
Перечислите все пары индексов i<j, не считая одну и ту же пару повторно в обратном порядке.
Для каждой пары сравните порядок X и Y: одинаковый порядок увеличивает C, противоположный — D.
Разделите C−D на n(n−1)/2 и проверьте C+D по общему числу пар, если совпадений нет.

Историческая справка

Ранговый коэффициент связан с Морисом Кендаллом и традицией анализа порядковых данных. В современной статистике используются несколько вариантов тау, различающихся обработкой совпадений и формой таблицы наблюдений. Университетский курс Penn State выводит смысл меры через согласованные и несогласованные пары, а документация R отдельно указывает поведение при связках. В статистической литературе XX века ранговые методы стали важной альтернативой оценке линейной связи по исходным измерениям. Для учебного объяснения тау-а особенно прозрачен: его можно получить простым подсчётом пар без предположения о единицах измерения. Современное программное имя «Kendall» не всегда означает именно тау-а; поэтому при воспроизведении результата необходимо уточнять вариант коэффициента.

Историческая линия формулы

Тау-а — один из вариантов ранговой меры Кендалла. В статье намеренно выделен случай без связок, где разность согласованных и несогласованных пар нормируется общим числом пар. Название программного метода Kendall требует чтения документации, особенно при повторяющихся значениях.

Пример

У четырёх объектов ранги X равны 1,2,3,4, а соответствующие ранги Y — 1,3,2,4. Всего пар C(4,2)=6. После сортировки по X только пара второго и третьего объектов нарушает порядок Y: 3 стоит перед 2. Поэтому D=1, а остальные пять пар согласованы, C=5. Получаем τₐ = (5−1)/6 = 2/3 ≈ 0,6667. Проверка: C+D=6 и коэффициент лежит между −1 и 1. Для этой же таблицы коэффициент Спирмена равен 0,8; различие нормально, поскольку методы по-разному измеряют несовпадение порядков. Тау-а безразмерен, результат относится именно к четырём заданным объектам.

Частая ошибка

Не считайте пары (i,j) и (j,i) дважды. Не делите C−D на n вместо числа пар. Не включайте связку в согласованные пары только потому, что значения равны. Не переносите формулу тау-а на тау-b: у второго другой знаменатель. Не интерпретируйте отличие от Спирмена как ошибку вычисления.

Практика

Задачи с решением

Полное обращение

Условие. Для X = (1,2,3) и Y = (3,2,1) найдите тау-а.

Решение. Все три пары несогласованы: C = 0,D = 3. τₐ = (0−3)/3 = −1.

Ответ. −1

Десять пар

Условие. В пяти наблюдениях без связок C = 7, D = 3. Найдите тау-а.

Решение. Всего 5·4/2 = 10 пар. τₐ = (7−3)/10 = 0,4.

Ответ. 0,4

Дополнительные источники

https://online.stat.psu.edu/stat504/Lesson04
https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/cor.html

Связанные формулы

Аналитика

Корреляция Спирмена: связь между рангами величин

$r_s=1-\frac{6\sum_{i=1}^{n}d_i^2}{n(n^2-1)}$

Коэффициент Спирмена измеряет согласованность порядка двух величин. Формула через квадраты разностей рангов применяется без совпадающих значений; при связках используют корреляцию средних рангов.

Математика

Коэффициент корреляции Пирсона

$r=\frac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum (x_i-\bar x)^2\sum (y_i-\bar y)^2}}$

Формула «Коэффициент корреляции Пирсона» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Число сочетаний без повторений

$C_n^k=\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Формула описывает прием «неупорядоченный выбор» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.