Линейная алгебра

Диагонализация

Переход к диагональному виду матрицы или оператора через собственные значения и собственные векторы.

9 формул

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Диагонализация матрицы	$A=PDP^{-1}$	Матрицы, определители	Диагонализация представляет квадратную матрицу A в виде A=PDP^{-1}, где D диагональна, а столбцы P являются собственными векторами A. Это переводит действие оператора в собственный базис.
Базис из собственных векторов	$B=(v_1,\ldots,v_n),\quad Av_i=\lambda_i v_i$	Матрицы, определители	Базис из собственных векторов - это базис пространства, каждый вектор которого является собственным для оператора A. В таком базисе матрица оператора становится диагональной.
Критерий диагонализируемости через геометрические кратности	$A\text{ диагонализируема}\Longleftrightarrow \sum_{\lambda\in\sigma(A)}\dim E_\lambda=n$	Матрицы, определители	Матрица n x n диагонализируема тогда и только тогда, когда сумма размерностей всех ее собственных пространств равна n. Это означает, что собственных векторов хватает на базис.
Диагонализируемость при различных собственных значениях	$\lambda_1,\ldots,\lambda_n\text{ различны}\Longrightarrow A\text{ диагонализируема}$	Матрицы, определители	Если матрица n x n имеет n различных собственных значений, то она диагонализируема. Разным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы.
Диагонализация матрицы 2x2	$A=P\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}P^{-1}$	Матрицы, определители	Матрица 2x2 диагонализируется, если для нее можно найти два линейно независимых собственных вектора. При двух различных собственных значениях это выполняется автоматически.
Степень диагонализируемой матрицы	$A^k=PD^kP^{-1},\quad D^k=\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k)$	Матрицы, определители	Если A=PDP^{-1}, то степень A^k вычисляется как PD^kP^{-1}. Диагональную матрицу D возводят в степень по диагональным элементам.
Функция от диагонализируемой матрицы	$f(A)=P f(D) P^{-1},\quad f(D)=\operatorname{diag}(f(\lambda_1),\ldots,f(\lambda_n))$	Матрицы, определители	Если A диагонализируема, функцию от матрицы можно вычислить через функцию от ее собственных значений. Для диагональной D функция применяется к каждому диагональному элементу.
Недиагонализируемая матрица с жордановым блоком	$J=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix},\quad \dim E_\lambda=1<2$	Матрицы, определители	Жорданов блок 2x2 с единицей над диагональю имеет одно собственное значение lambda алгебраической кратности 2, но только одно независимое собственное направление. Поэтому он не диагонализируем.
Матрица диагонализируемого оператора в собственном базисе	$[T]_B=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$	Матрицы, определители	Если B - базис из собственных векторов оператора T, то матрица T в этом базисе диагональна. На диагонали стоят собственные значения, соответствующие векторам базиса.