Физика / Давление, жидкости и газы

Закон Дарси для фильтрации

Закон Дарси связывает расход жидкости через пористую среду с гидравлической проводимостью, площадью фильтрации и перепадом напора на длине потока.

Опубликовано: 26 мая 2026 г.Обновлено: 26 мая 2026 г.

Формула

Q=K A\frac{\Delta h}{L}

Схема Как читать формулу: закон дарси для фильтрации

Перед подстановкой чисел полезно сверить модель на рисунке: поток проходит через пористый слой.

Обозначения

$Q$: объемный расход фильтрации, м^3/с
$K$: коэффициент фильтрации или гидравлическая проводимость, м/с
$A$: площадь поперечного сечения потока, м^2
$\Delta h$: перепад гидравлического напора, м
$L$: длина пути фильтрации, м

Условия применения

Поток через пористую среду является медленным и ламинарным.
Среда в расчетном объеме считается однородной или K является эффективным средним коэффициентом.
Жидкость несжимаема, а вязкость и температура существенно не меняются.

Ограничения

При больших скоростях, турбулентности или трещинном потоке линейный закон Дарси может нарушаться.
Коэффициент K зависит от проницаемости среды и свойств жидкости, поэтому его нельзя переносить без проверки.
Для неоднородных грунтов и сложной геометрии требуется расчет поля напоров, а не одна одномерная формула.

Подробное объяснение

Закон Дарси описывает фильтрацию жидкости через пористую среду. Вода в песке или грунте движется не по одной гладкой трубе, а по множеству извилистых поровых каналов. При малых скоростях суммарный расход оказывается пропорционален перепаду напора и площади, через которую идет фильтрация.

Коэффициент K показывает, насколько легко жидкость проходит через данную среду. Крупный песок имеет большую проводимость, глина - очень малую. Но K зависит не только от пор, а также от вязкости и плотности жидкости, поэтому при другой жидкости или температуре значение может измениться.

Отношение Δh/L называют гидравлическим градиентом. Оно показывает, как быстро меняется напор вдоль пути фильтрации. Чем больше градиент, тем сильнее причина потока. Площадь A задает доступное сечение: через больший образец при тех же условиях проходит больший расход.

Закон Дарси является линейным приближением. Он хорошо работает для спокойной фильтрации грунтовых вод и лабораторных колонок. Если поток становится быстрым, появляются инерционные эффекты, размыв, неоднородность или трещины, связь между расходом и градиентом перестает быть простой. Тогда нужны расширенные модели фильтрации.

Как пользоваться формулой

Определите площадь сечения и длину пути фильтрации.
Найдите перепад гидравлического напора между концами участка.
Возьмите коэффициент фильтрации для данной среды и жидкости.
Подставьте величины в Q = K A Δh/L и проверьте единицы расхода.

Историческая справка

Анри Дарси сформулировал свой закон в XIX веке при исследовании фильтрации воды через песчаные фильтры для водоснабжения Дижона. Его опыты показали, что расход пропорционален площади и перепаду напора и обратно пропорционален длине фильтрующего слоя. Это стало одним из первых количественных законов движения жидкости в пористой среде. Позже закон Дарси стал фундаментом гидрогеологии, нефтяной инженерии, грунтовой гидравлики и расчетов дренажа. Современные модели используют тензорную проницаемость, насыщенность, капиллярные эффекты и нелинейные поправки, но базовая одномерная формула остается исходной точкой. Ее до сих пор проверяют лабораторными фильтрационными опытами.

Историческая линия формулы

Закон назван в честь французского инженера Анри Дарси, который опубликовал результаты фильтрационных опытов в 1856 году. Современная запись через гидравлическую проводимость и градиент напора является развитием его экспериментальной зависимости.

Пример

Через песчаный образец площадью 0,02 м² и длиной 0,5 м фильтруется вода. Перепад напора между концами образца равен 0,10 м, коэффициент фильтрации K = 2·10^-4 м/с. Расход Q = K A Δh/L = 2·10^-4·0,02·0,10/0,5 = 8·10^-7 м³/с. Это 0,8 мл/с, потому что 1 м³ = 10^6 мл. Если удвоить перепад напора, расход в рамках закона Дарси тоже удвоится. Если увеличить длину образца, расход уменьшится, так как тот же перепад распределяется на больший путь фильтрации. При изменении температуры воды K нужно проверять заново.

Частая ошибка

Частая ошибка - путать закон Дарси с формулой Бернулли для потока в трубе. Здесь поток идет через поры, а K уже учитывает свойства среды. Вторая ошибка - использовать перепад давления вместо перепада напора без перевода через ρg. Третья ошибка - считать K только свойством грунта: в гидравлической проводимости участвуют и свойства жидкости. Нельзя применять линейную формулу к быстрому размывающему потоку.

Практика

Задачи с решением

Расход через песок

Условие. K = 1·10^-5 м/с, A = 0,1 м², Δh = 2 м, L = 5 м. Найдите Q.

Решение. Q = 1·10^-5·0,1·2/5 = 4·10^-7 м³/с.

Ответ. 4·10^-7 м³/с

Коэффициент фильтрации

Условие. Q = 2·10^-6 м³/с, A = 0,05 м², Δh = 1 м, L = 2 м. Найдите K.

Решение. K = QL/(AΔh) = 2·10^-6·2/(0,05·1) = 8·10^-5 м/с.

Ответ. 8·10^-5 м/с

Дополнительные источники

USGS Water Science School: Darcy's law
Bear, Dynamics of Fluids in Porous Media: Darcy flow

Связанные формулы

Инженерия

Объемный расход потока

$Q = A v$

Объемный расход потока показывает какой объем жидкости проходит через сечение за единицу времени. Формула связывает измеряемые параметры потока и дает расчетную величину для труб, каналов или насосного оборудования.

Инженерия

Уравнение неразрывности потока

$A_1 v_1 = A_2 v_2 = Q$

Уравнение неразрывности потока показывает как меняется скорость при изменении площади сечения в несжимаемом потоке. Формула связывает измеряемые параметры потока и дает расчетную величину для труб, каналов или насосного оборудования.

Инженерия

Потери напора по Дарси — Вейсбаху

$h_f = f\frac{L}{D_h}\frac{v^2}{2g}$

Потери напора по Дарси — Вейсбаху показывает сколько напора теряется на трение при движении по трубе. Формула связывает измеряемые параметры потока и дает расчетную величину для труб, каналов или насосного оборудования.