Математика
Шаговые схемы задачи Коши, порядок и устойчивость.
9 формул
Явный метод Эйлера приближённо решает уравнение y′ = f(t,y), продолжая решение по наклону в начале каждого шага. При гладком решении глобальная ошибка имеет первый порядок по шагу.
Неявный метод Эйлера использует производную в конце шага. Новое значение входит в обе части равенства, поэтому каждый переход требует решения уравнения, зато схема хорошо подавляет быстро затухающие компоненты.
Явный метод средней точки делает пробный полушаг по Эйлеру, оценивает производную в середине и использует её на полном шаге. Это двухстадийная схема Рунге — Кутты второго порядка.
В этой двухстадийной схеме сначала делают прогноз Эйлера на полный шаг, затем усредняют начальный и прогнозный конечный наклоны. Метод имеет второй порядок, но названия его вариантов различаются в литературе.
Классический RK4 вычисляет четыре наклона за шаг и объединяет их с весами 1:2:2:1. Для гладкой задачи Коши он даёт четвёртый порядок общей ошибки без явного вычисления высших производных.
Метод Тейлора второго порядка добавляет к шагу Эйлера член с полной производной правой части. Для скалярного уравнения y′=f(t,y) вторая производная решения равна fₜ+fᵧf, вычисленной в начале шага.
Неявная средняя точка вычисляет производную в среднем старого и нового состояний. Новый уровень входит в правую часть, поэтому шаг находят решением уравнения. Схема второго порядка обратима по времени при согласованном решении.
Неявная трапециевидная схема усредняет производные на концах шага, включая неизвестный новый уровень. Она имеет второй порядок и A-устойчивость, но при крупном шаге затухание может сопровождаться сменой знака.
Двухшаговый метод Адамса — Башфорта использует два уже вычисленных наклона и получает явное приближение второго порядка с одним новым вызовом правой части.
