Математика / Начала анализа

Явный метод средней точки для задачи Коши

Явный метод средней точки делает пробный полушаг по Эйлеру, оценивает производную в середине и использует её на полном шаге. Это двухстадийная схема Рунге — Кутты второго порядка.

Опубликовано: 20 октября 2026 г.Обновлено: 20 октября 2026 г.

Математический анализ Алгебра Страницы с задачами и решениями Есть историческая справка

Формула

k_1=f(t_n,y_n),\quad k_2=f(t_n+h/2,y_n+hk_1/2),\quad y_{n+1}=y_n+hk_2

Схема Прогноз средней точки: y′ = y²

Наклон в пробе 1,21; полный шаг 0,2

Обозначения

$k_1$: наклон в начале шага, единица y / единица t
$k_2$: наклон в пробной средней точке, единица y / единица t
$h$: длина полного шага, единица аргумента
$y_n$: старое приближение, единица состояния
$t_n$: старый узел, единица аргумента

Условия применения

Решается задача Коши первого порядка с гладкой правой частью. Достаточная гладкость и ограниченная чувствительность по y нужны для второго порядка на фиксированном интервале. В обеих стадиях используют одну и ту же исходную точку и полный шаг h.

Ограничения

Пробное значение в середине не является отдельным принятым узлом решения. Схема явная и не устраняет ограничение устойчивости жёстких задач. При разрывах или негладкости второй порядок может утрачиваться; автоматической оценки ошибки эта запись не содержит.

Подробное объяснение

Наклон в начале шага может плохо представлять весь участок траектории. Метод средней точки сначала прогнозирует состояние через половину шага. Затем правая часть вычисляется в этой пробной точке, и полученный наклон переносится на полную длину h.

Важно различать два состояния: yₙ+hk₁/2 служит только аргументом функции f, а новое принятое значение равно yₙ+hk₂. Если начать полный переход от пробного состояния, получится иной алгоритм и неверный итоговый момент времени.

Для гладкого уравнения разложение k₂ учитывает изменение правой части и по времени, и по состоянию. За счёт этого совпадают члены точного решения вплоть до h². Ошибка отдельного перехода имеет порядок h³, а накопленная ошибка на фиксированном интервале — h² при стандартных условиях сходимости.

На уравнении y′ = y множитель одного шага равен 1+h+h²/2. Он совпадает с первыми тремя членами ряда экспоненты. Но на нелинейном уравнении метод средней точки и усреднение двух крайних наклонов обычно дают разные результаты, хотя имеют одинаковый второй порядок.

Это не неявная формула средней точки: в ней f зависит от среднего старого и уже искомого нового состояния. Здесь же обе стадии вычисляются явно. Совпадающее геометрическое слово не делает методы взаимозаменяемыми, особенно в задачах сохранения энергии и долгого интегрирования.

Как пользоваться формулой

Посчитайте начальный наклон k₁ и отдельно запишите пробные координаты t+h/2 и y+hk₁/2 для второй стадии.
Вычислите f именно в пробной средней точке; сохраните результат как производную k₂, без лишнего множителя h.
Вернитесь к исходному y и прибавьте h·k₂; пробный полушаг не нужно добавлять к итоговому состоянию ещё раз.
Перейдите к следующему узлу и повторите обе стадии; точность оцените сравнением результатов при h и h/2.

Историческая справка

Явная средняя точка относится к развитию многостадийных методов численного интегрирования. В конце XIX и начале XX века работы Карла Рунге и Вильгельма Кутты связали повышение порядка с несколькими вычислениями правой части внутри одного шага. В отличие от последовательного дифференцирования уравнения такой подход не требует явно выписывать высшие производные решения. В современной таблице коэффициентов средняя точка выделяется второй стадией на половине отрезка и использованием только её наклона в итоговой сумме. Учебник Fundamentals of Numerical Computation приводит эту схему как один из вариантов второго порядка и подчёркивает отличие от других улучшений Эйлера. Нынешние названия не всегда единообразны, поэтому наиболее надёжное определение метода — его конкретные стадии и веса.

Историческая линия формулы

Схема представлена как явный двухстадийный метод Рунге — Кутты со второй стадией в середине шага. Отдельное авторство этой записи не устанавливается. Термин «улучшенный Эйлер» неоднозначен, поэтому он не заменяет приведённые формулы стадий.

Пример

Рассмотрим y′ = y², y(0) = 1 и один шаг h = 0,2. Начальный наклон k₁ = 1² = 1. Пробное состояние в t = 0,1 равно 1+0,2·1/2 = 1,1, поэтому k₂ = 1,1² = 1,21. Принятое новое значение y₁ = 1+0,2·1,21 = 1,242. Точное решение y = 1/(1−t) даёт при t = 0,2 число 1,25. Абсолютная ошибка равна 0,008. Для сравнения, явный Эйлер дал бы 1,2 и ошибку 0,05. Все величины безразмерны. Проверка времени существенна: вторая стадия вычислена в середине, но ответ относится к концу полного шага. Особая точка точного решения t = 1 лежит вне данного перехода; через неё продолжать эту задачу по такой сетке нельзя.

Частая ошибка

Не выдавайте пробное состояние 1,1 за окончательный ответ шага. Не начинайте полный переход от середины вместо исходного y. Не умножайте k₂ на h дважды, если k обозначает наклон. Не путайте явный полушаг с неявной средней точкой. Не переносите точность для гладкой задачи на участок с разрывом правой части.

Практика

Задачи с решением

Линейный рост состояния

Условие. Для y′ = y, y₀ = 1 выполните один шаг h = 0,2 методом средней точки.

Решение. k₁ = 1; пробное y = 1,1; k₂ = 1,1. Полный переход: y₁ = 1+0,2·1,1 = 1,22. Точное e⁰·² ≈ 1,221402758.

Ответ. y₁ = 1,22.

Производная зависит от времени

Условие. Для y′ = 2t, y(0) = 1 найдите один шаг h = 0,5.

Решение. k₁ = 0; пробное время 0,25 и пробное y = 1. Вторая производная k₂ = 2·0,25 = 0,5. Поэтому y₁ = 1+0,5·0,5 = 1,25; это совпадает с 1+t².

Ответ. y(0,5) = 1,25 на этом шаге.

Дополнительные источники

https://fncbook.com/rk/
https://fncbook.com/euler/
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Runge/
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kutta/

Связанные формулы

Математика

Явный метод Эйлера: решение задачи Коши по шагам

$y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n),\qquad t_{n+1}=t_n+h$

Явный метод Эйлера приближённо решает уравнение y′ = f(t,y), продолжая решение по наклону в начале каждого шага. При гладком решении глобальная ошибка имеет первый порядок по шагу.

Математика

Неявный метод Эйлера: шаг и устойчивость затухания

$y_{n+1}=y_n+h f(t_{n+1},y_{n+1})$

Неявный метод Эйлера использует производную в конце шага. Новое значение входит в обе части равенства, поэтому каждый переход требует решения уравнения, зато схема хорошо подавляет быстро затухающие компоненты.

Математика

Метод Хойна: явное усреднение двух наклонов

$k_1=f(t_n,y_n),\quad k_2=f(t_n+h,y_n+hk_1),\quad y_{n+1}=y_n+\frac h2(k_1+k_2)$

В этой двухстадийной схеме сначала делают прогноз Эйлера на полный шаг, затем усредняют начальный и прогнозный конечный наклоны. Метод имеет второй порядок, но названия его вариантов различаются в литературе.

Математика

Классический метод Рунге — Кутты четвёртого порядка

$\begin{aligned}k_1&=f(t_n,y_n),&k_2&=f(t_n+h/2,y_n+hk_1/2),\\k_3&=f(t_n+h/2,y_n+hk_2/2),&k_4&=f(t_n+h,y_n+hk_3),\\y_{n+1}&=y_n+\frac h6(k_1+2k_2+2k_3+k_4).\end{aligned}$

Классический RK4 вычисляет четыре наклона за шаг и объединяет их с весами 1:2:2:1. Для гладкой задачи Коши он даёт четвёртый порядок общей ошибки без явного вычисления высших производных.