Все формулы РФ

Аналитика / Статистические выводы

Парный t-критерий: проверка среднего изменения

Парный t-критерий проверяет гипотезу о среднем различии двух связанных измерений. Сначала для каждого объекта вычисляют разность, затем сравнивают среднюю разность с заданным значением с учётом её выборочного разброса.

Опубликовано: Обновлено:

Статистические выводыТеория вероятностей и математическая статистикаСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справка

Формула

$$t=\frac{\bar d-\mu_{d,0}}{s_d/\sqrt n},\quad d_i=Y_i-X_i$$
Схема Парные измерения и их разности
Связанные измерениядо Xᵢпосле Yᵢdᵢ = Yᵢ − Xᵢ

Каждая стрелка соединяет два измерения одного объекта; показана схема, не числовой график.

Обозначения

$dᵢ$
разность второго и первого измерения в паре, единица измерения
$d̄$
среднее выборочных разностей, единица измерения
$s_d$
выборочное стандартное отклонение разностей, единица измерения
$n$
число независимых пар, безразмерная
$μd,0$
значение среднего различия по нулевой гипотезе, единица измерения
$t$
статистика критерия, безразмерная

Условия применения

Пары определены до анализа и независимы между собой. Для точного t-вывода разности в генеральной совокупности распределены нормально, n≥2 и s_d>0. Альтернатива и уровень значимости выбираются заранее; при больших выборках возможны приближения при дополнительных условиях.

Ограничения

Критерий не подходит для несвязанных групп как парный: искусственное сопоставление меняет разброс разностей. Потерянные пары, выбросы, зависимость между объектами и выраженная асимметрия разностей при малом n требуют отдельного анализа. Значимость не доказывает причинность и практическую важность эффекта.

Подробное объяснение

Пусть Xᵢ и Yᵢ — измерения одного объекта до и после воздействия. Выбрав направление dᵢ=Yᵢ−Xᵢ, рассчитывают одну разность для каждого объекта. Нулевая гипотеза задаёт её среднее μd,0, обычно ноль; альтернативная гипотеза может быть двусторонней или направленной.

Затем вычисляют d̄ и стандартное отклонение s_d по всем разностям с делителем n−1. Стандартная ошибка среднего равна s_d/√n, а статистика t показывает, сколько таких ошибок отделяют наблюдаемую среднюю разность от μd,0. При независимых нормальных разностях и верной нулевой гипотезе t имеет n−1 степеней свободы.

Парная схема устраняет из расчёта часть индивидуального уровня: если у одного объекта оба измерения высокие, а у другого оба низкие, важна именно разность каждого объекта. Поэтому нельзя отдельно вычислить стандартные отклонения двух колонок и подставить их в формулу для независимых групп. Направление вычитания меняет знак статистики, но не двустороннее p-значение.

Для двустороннего теста сравнивают |t| с t-квантилем 1−α/2 или вычисляют двустороннее p-значение. Отказ от H₀ при p≤α означает несовместимость данных с нулевым средним различием в рамках модели на выбранном уровне, но не сообщает размер практического эффекта. Неполучение значимости также не доказывает отсутствие различия.

Рядом с решением полезно указать d̄ и доверительный интервал d̄±t·s_d/√n. Если эксперимент не рандомизирован или параллельно изменились другие условия, статистическое различие до и после само по себе не показывает, что его вызвало именно вмешательство.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что каждому первому измерению соответствует второе измерение того же объекта или заранее выбранной пары.
  2. Зафиксируйте направление разности, нулевое значение, альтернативу и уровень значимости до сравнения результата.
  3. Найдите разность в каждой паре, среднее d̄ и выборочное стандартное отклонение разностей s_d.
  4. Вычислите t=(d̄−μd,0)/(s_d/√n) и возьмите n−1 степеней свободы для t-распределения.
  5. Сравните статистику с критической областью и сообщите знак, величину эффекта, интервал и ограничения дизайна.

Историческая справка

В статье «The Probable Error of a Mean» 1908 года Госсет, публиковавшийся как Student, прямо рассматривает вывод о среднем, в том числе о средней разности двух величин. Его работа исследовала неопределённость малой выборки при неизвестном разбросе и стала важной основой t-методов.

Исторический обзор Забелла описывает развитие этого результата и применение к небольшим экспериментальным сериям. Парная постановка использует тот же принцип для выборки разностей, а не считает два связанных измерения двумя независимыми выборками.

В современном руководстве NIST пары определяются по связи отдельных измерений; в качестве примеров приведены два прибора на одном изделии и измерения до и после. Формула статистики строится на среднем и стандартном отклонении разностей с n−1 степенями свободы. Это уточняет экспериментальную единицу и задаёт корректную ошибку среднего.

Историческая линия формулы

Работа Госсета 1908 года лежит в основе распределения для среднего при неизвестном разбросе и рассматривает средние разности. Современный парный t-критерий применяет этот результат к независимым парам; утверждать, что все современные варианты парного анализа созданы одним автором, было бы неточно.

Пример

У девяти независимых объектов рассчитана разность «после минус до». Получено d̄=3 единицы и s_d=3 единицы. Проверим H₀: μd=0 против двусторонней альтернативы при α=0,05. Стандартная ошибка равна 3/√9=1 единица. Статистика t=(3−0)/1=3, степени свободы 8. Табличное двустороннее критическое значение t₀,₉₇₅;₈≈2,306. Поскольку |3|>2,306, нулевую гипотезу отвергаем на уровне 5%. 95%-ный интервал разности равен 3±2,306·1=[0,694; 5,306] единицы и не включает ноль, что согласуется с двусторонним решением. Это свидетельство положительного среднего изменения при принятой модели; без контрольного дизайна оно не устанавливает причину изменения.

Частая ошибка

Не считайте 18 отдельных измерений размером выборки: здесь девять независимых пар. Не подменяйте s_d стандартным отклонением одной колонки. Не сравнивайте двустороннюю статистику с односторонним критическим значением. Отсутствие статистической значимости не доказывает равенство средних, а значимость не измеряет практическую пользу.

Практика

Задачи с решением

Положительная разность

Условие. n=16 пар, d̄=2, s_d=4; H₀: μd=0. Найдите статистику.

Решение. SE=4/√16=1; t=2/1=2, степени свободы 15.

Ответ. t=2, df=15.

Изменение направления

Условие. В примере разности определили как «до минус после». Как изменится статистика?

Решение. Средняя разность станет −3, s_d останется 3. t=−3/(3/√9)=−3; модуль и двустороннее решение прежние.

Ответ. t=−3; двусторонний вывод не меняется.

Дополнительные источники

  • https://www.dcscience.net/Student-t-1908.pdf
  • https://personal.morris.umn.edu/~jongmink/Stat2611/s1.pdf
  • https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section3/prc311.htm

Связанные формулы

Аналитика

t-интервал для среднего при неизвестной дисперсии

$\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}$

Доверительный t-интервал оценивает среднее генеральной совокупности, когда её дисперсия неизвестна и стандартное отклонение вычислено по выборке. Границы строят из выборочного среднего, стандартной ошибки и квантиля распределения Стьюдента.

Математика

Доверительный интервал для среднего при известной дисперсии

$\bar x\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}$

Формула «Доверительный интервал для среднего при известной дисперсии» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Аналитика

Среднее арифметическое

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$

Среднее арифметическое показывает типичный уровень числового показателя как сумму всех значений, деленную на количество наблюдений.

Аналитика

Выборочное стандартное отклонение

$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$

Выборочное стандартное отклонение показывает типичный масштаб отклонения значений от среднего в исходных единицах показателя.