Все формулы РФ

Аналитика / Статистические выводы

t-интервал для среднего при неизвестной дисперсии

Доверительный t-интервал оценивает среднее генеральной совокупности, когда её дисперсия неизвестна и стандартное отклонение вычислено по выборке. Границы строят из выборочного среднего, стандартной ошибки и квантиля распределения Стьюдента.

Опубликовано: Обновлено:

Статистические выводыТеория вероятностей и математическая статистикаСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справка

Формула

$$\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}$$
Схема Среднее и границы t-интервала
t-интервал45,875054,13 мм

Схема интервала примера: от 45,87 до 54,13 мм, центр 50 мм.

Обозначения

$x̄$
выборочное среднее, единица измерения
$s$
выборочное стандартное отклонение с делителем n−1, единица измерения
$n$
объём выборки, безразмерная
$α$
дополнение доверительного уровня до единицы, безразмерная
$t$
квантиль распределения Стьюдента с n−1 степенями свободы, безразмерная

Условия применения

Наблюдения образуют независимую случайную выборку из нормальной совокупности, n≥2 и s>0; тогда формула даёт точное покрытие при заданном уровне. Для больших выборок приближение может работать шире, но выбросы и сильная асимметрия требуют отдельной оценки.

Ограничения

Зависимые измерения, смещение отбора и неподходящая модель не исправляются выбором t-квантиля. При n=1 выборочное стандартное отклонение не определено. Если истинное σ действительно известно, применяется другая формула с нормальным квантилем; известность σ нельзя заменить большим числом измерений.

Подробное объяснение

Выборочное среднее x̄ оценивает неизвестное среднее μ, но меняется от выборки к выборке. Стандартная ошибка s/√n выражает оценённый масштаб этого колебания. Поскольку истинное стандартное отклонение неизвестно, оценка s сама случайна, особенно при небольшой выборке.

Для независимой нормальной выборки статистика (x̄−μ)/(s/√n) имеет распределение Стьюдента с n−1 степенью свободы. Выбирая центральную область с вероятностью 1−α и решая неравенство относительно μ, получаем интервал x̄±t·s/√n. Степень свободы уменьшается на единицу, поскольку отклонения вычисляют от того же выборочного среднего.

Ширина интервала зависит от трёх величин: больший разброс s расширяет его, большее n при прочих равных уменьшает стандартную ошибку, а повышение доверительного уровня увеличивает квантиль. Удвоение числа наблюдений не делит ширину пополам: зависимость содержит √n, а t-квантиль тоже меняется.

Частотная интерпретация относится к процедуре: при многократном независимом повторении при выполнении модели доля построенных 95%-ных интервалов, содержащих фиксированное μ, составляет 95%. После наблюдения данных уже получен один конкретный интервал; это не вероятность 95%, что фиксированный параметр случайно лежит внутри него.

Этот интервал не описывает разброс отдельных будущих значений и не является предсказательным интервалом. Он также отличается от интервала с известной дисперсией: в последнем вместо s и t используют известное σ и нормальный квантиль.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте схему отбора, независимость наблюдений и применимость нормальной модели к размеру и форме выборки.
  2. Вычислите x̄ и s с делителем n−1 в формуле выборочной дисперсии; не подставляйте дисперсию вместо отклонения.
  3. Выберите доверительный уровень 1−α и найдите двусторонний квантиль t с n−1 степенью свободы.
  4. Рассчитайте стандартную ошибку s/√n и умножьте её на найденный квантиль для получения половины ширины.
  5. Вычтите и прибавьте эту величину к среднему, укажите единицу, уровень доверия и условия интерпретации.

Историческая справка

В 1908 году Уильям Сили Госсет опубликовал под псевдонимом Student статью «The Probable Error of a Mean» в Biometrika. Он рассматривал проблему небольших серий измерений, когда выборочная оценка разброса сама заметно меняется. В оригинале исследуется распределение стандартизированного среднего при нормальной модели.

Исторический обзор С. Забелла связывает постановку задачи Госсета с практикой небольших серий измерений на пивоваренном производстве и дальнейшим развитием теории малых выборок. Позднейшая статистическая практика закрепила распределение Стьюдента и таблицы его квантилей как инструмент для проверок и интервалов.

Современное уравнение интервала получают обращением распределения стандартизированного среднего; оно не тождественно просто подстановке выборочного s в нормальную формулу. Интерпретация покрытия относится к правилу построения при повторении выборки и требует явно указать модель.

Историческая линия формулы

Распределение для стандартизированного среднего малой нормальной выборки связано с публикацией Госсета под именем Student в 1908 году. Современное обозначение t и доверительная интерпретация сформировались в дальнейшем развитии статистического вывода; не следует приписывать весь современный аппарат одному автору.

Пример

Из независимых измерений получены n=25, x̄=50 мм и s=10 мм. Построим двусторонний 95%-ный интервал для среднего при нормальной модели; квантиль t₀,₉₇₅;₂₄≈2,0639. Стандартная ошибка равна 10/√25=2 мм. Полуширина составляет 2,0639·2=4,1278 мм. Границы: 50−4,1278=45,8722 мм и 50+4,1278=54,1278 мм. После округления интервал равен [45,87; 54,13] мм. Проверка: середина границ равна 50 мм, а расстояния до них одинаковы. При повторении такой процедуры на независимых выборках из нормальной совокупности около 95% интервалов покрывали бы истинное среднее; отдельные наблюдения могут находиться вне построенных границ.

Частая ошибка

Не используйте z-квантиль только потому, что выборка «достаточно большая», если требуется точный интервал при неизвестном σ. Не берите t с n степенями свободы: здесь их n−1. Не называйте интервал диапазоном 95% наблюдений. Не интерпретируйте 95% как вероятность для уже фиксированного параметра без отдельной байесовской модели.

Практика

Задачи с решением

Интервал 95%

Условие. n=16, среднее 20 с, s=4 с; t₀,₉₇₅;₁₅=2,131. Найдите границы.

Решение. SE=4/4=1 с; полуширина 2,131 с. Границы 20±2,131.

Ответ. [17,869; 22,131] с.

Другой уровень

Условие. Для примера используйте 90%-ный квантиль t₀,₉₅;₂₄=1,7109. Найдите интервал.

Решение. SE=2 мм; полуширина 1,7109·2=3,4218 мм. Границы 50±3,4218.

Ответ. [46,5782; 53,4218] мм.

Дополнительные источники

  • https://www.dcscience.net/Student-t-1908.pdf
  • https://personal.morris.umn.edu/~jongmink/Stat2611/s1.pdf
  • https://itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section2/prc22.htm
  • https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3672.htm

Связанные формулы

Математика

Доверительный интервал для среднего при известной дисперсии

$\bar x\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}$

Формула «Доверительный интервал для среднего при известной дисперсии» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Аналитика

Парный t-критерий: проверка среднего изменения

$t=\frac{\bar d-\mu_{d,0}}{s_d/\sqrt n},\quad d_i=Y_i-X_i$

Парный t-критерий проверяет гипотезу о среднем различии двух связанных измерений. Сначала для каждого объекта вычисляют разность, затем сравнивают среднюю разность с заданным значением с учётом её выборочного разброса.

Аналитика

Среднее арифметическое

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$

Среднее арифметическое показывает типичный уровень числового показателя как сумму всех значений, деленную на количество наблюдений.

Аналитика

Выборочное стандартное отклонение

$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$

Выборочное стандартное отклонение показывает типичный масштаб отклонения значений от среднего в исходных единицах показателя.