Физика / Механика сплошных сред

Капиллярное число: вязкость против поверхностного натяжения

Капиллярное число сравнивает вязкое действие потока с поверхностным натяжением на межфазной границе. Для ньютоновской жидкости Ca=μU/γ; это безразмерный критерий, а не универсальный порог распада капли.

Опубликовано: 4 ноября 2026 г.Обновлено: 4 ноября 2026 г.

Формула

\mathrm{Ca}=\frac{\mu U}{\gamma}

Схема Рост Ca со скоростью потока

μ=0,050 Па·с, γ=0,025 Н/м. Отмеченная точка: U=0,020 м/с и Ca=0,040.

Обозначения

$\mathrm{Ca}$: отношение вязкого и капиллярного масштабов, 1
$\mu$: динамическая вязкость выбранной фазы, Па·с
$U$: характерная скорость согласно модели потока, м/с
$\gamma$: поверхностное натяжение выбранной границы фаз, Н/м

Условия применения

Укажите, какой фазе принадлежат μ и U: в задаче об обтекании капли это обычно окружающая жидкость. Вязкость считается ньютоновской, а поверхностное натяжение — однородным и заданным при рабочей температуре. Определение скорости должно совпадать с определением Ca в сравниваемом опыте или модели.

Ограничения

Ca само по себе не определяет форму капли или критическую скорость её распада. Важны геометрия течения, отношение вязкостей фаз, инерция, смачивание и время воздействия. Для неньютоновской жидкости необходимо оговорить эффективную вязкость и скорость сдвига; градиенты γ требуют учёта напряжений Марангони.

Подробное объяснение

Вязкое напряжение оценивается как μU/L, если скорость изменяется на величину порядка U на расстоянии L. Капиллярный масштаб давления равен γ/L. При делении этих оценок общий размер L сокращается: (μU/L)/(γ/L)=μU/γ. Речь идёт о сравнении масштабов, а не точном отношении напряжений в каждой точке поверхности.

При неизменных свойствах среды Ca линейно растёт со скоростью. Удвоение U или μ удваивает критерий, а удвоение γ уменьшает его вдвое. Малое Ca означает, что поверхностное натяжение относительно существенно по сравнению с вязким действием. Из этого ещё не следует точная сферичность капли: например, её форму может менять гравитация.

Размерность сокращается полностью: (Па·с)(м/с)/(Н/м)=(Н/м²)м/(Н/м)=1. Кинематическая вязкость ν имеет другие единицы. Если известна именно она, сначала используют μ=ρν с плотностью той же фазы; подстановка ν вместо μ без плотности не даёт капиллярного числа.

Число Вебера сравнивает с поверхностным натяжением инерцию, а Ca — вязкость. При согласованном выборе одной фазы, скорости и длины We/Re=(ρU²L/γ)/(ρUL/μ)=Ca. Это полезная алгебраическая проверка. Для двухфазной системы с разными определениями скорости или плотности такое сокращение нельзя применять автоматически.

Отсутствие L в записи не означает отсутствия влияния размеров канала. Геометрия задаёт распределение скоростей, кривизну интерфейса и смачивание. Поэтому одинаковое Ca позволяет сравнивать один физический баланс, но не гарантирует полного подобия разных установок.

Как пользоваться формулой

Выберите фазу и определение характерной скорости U: среднюю скорость в канале либо скорость относительно капли согласно модели.
Переведите динамическую вязкость в Па·с, скорость в м/с и натяжение именно межфазной границы в Н/м.
Вычислите произведение μU и разделите на γ; проверьте, что все размерности полностью сокращаются.
Для обратной задачи выразите U=Ca·γ/μ, сохраняя те же фазу, температуру и определение скорости.
Сопоставьте Ca с условиями опыта; для вывода о распаде дополнительно проверьте геометрию и отношение вязкостей.

Историческая справка

Капиллярное число относится к безразмерному описанию межфазных течений: вместо отдельной силы рассматривают соотношение вязкого и капиллярного масштабов. Такой подход позволяет сравнивать потоки с разными вязкостями и скоростями, сохраняя ясный смысл выбранного баланса. Формула получается из оценки напряжений и не требует приписывания отдельному автору без исторического свидетельства.

В конспекте курса Джона Буша Interfacial Phenomena, прочитанного в MIT осенью 2010 года, Ca сопоставляется с другими критериями межфазной гидродинамики. В лекции Sang-Gook Kim по микрофлюидике от 1 марта 2016 года тот же баланс используется для обсуждения формирования капель в канале. Это конкретные современные учебные применения, а не даты первого введения символа Ca.

Историческая линия формулы

В статье используется стандартный критерий отношения вязких и капиллярных масштабов. MIT-источники подтверждают его определение и применение к межфазным потокам; они не используются для заявления о единственном изобретателе или точной дате возникновения критерия.

Пример

В учебной модели окружающая ньютоновская жидкость имеет μ=0,050 Па·с, характерная скорость U=0,020 м/с, межфазное натяжение γ=0,025 Н/м. Требуется найти Ca. Произведение μU=0,0010 Н/м, поэтому Ca=0,0010/0,025=0,040. При выбранном общем масштабе L=1,0 мм вязкая оценка μU/L=1,0 Па, капиллярная γ/L=25 Па; их отношение 1/25=0,040 подтверждает расчёт. Если скорость удвоить, Ca станет 0,080. Число показывает относительную роль двух механизмов; утверждать по нему, что капля обязательно разорвётся или сохранит сферу, нельзя без геометрии потока и свойств второй фазы.

Частая ошибка

Не подставляйте кинематическую вязкость в м²/с вместо динамической в Па·с. Не смешивайте мН/м и Н/м: ошибка меняет Ca в тысячу раз. Не выбирайте вязкость одной фазы и скорость другой без определения модели. Не считайте Ca=1 универсальной границей распада. Не заменяйте Ca числом Вебера, которое характеризует инерцию.

Практика

Задачи с решением

Капиллярное число водной фазы

Условие. В модели μ=1,0 мПа·с, U=0,10 м/с, γ=50 мН/м. Найдите Ca.

Решение. Переводим μ=0,001 Па·с, γ=0,050 Н/м. Ca=0,001·0,10/0,050=0,002.

Ответ. Ca=0,002, безразмерная величина.

Скорость для заданного Ca

Условие. При μ=0,20 Па·с и γ=0,040 Н/м нужно получить Ca=0,10. Найдите U.

Решение. U=Ca·γ/μ=0,10·0,040/0,20=0,020 м/с. Проверка: 0,20·0,020/0,040=0,10.

Ответ. U=0,020 м/с, или 20 мм/с.

Дополнительные источники

https://ocw.mit.edu/courses/2-674-micro-nano-engineering-laboratory-spring-2016/c81afa290286beb94674aa08df1de10e_MIT2_674S16_Lec4Droplets.pdf
https://ocw.mit.edu/courses/18-357-interfacial-phenomena-fall-2010/04759cfc15c79928ca9f72a18b3864dd_MIT18_357F10_lec_all.pdf

Связанные формулы

Инженерия

Число Вебера: инерция и поверхностное натяжение

$\mathrm{We}=\frac{\rho U^2L}{\sigma}$

Число Вебера сравнивает инерционный и капиллярный масштабы давления. Оно полезно для капель и струй, но требует явного выбора скорости, плотности, размера и поверхностного натяжения между конкретными фазами.

Физика

Число Рейнольдса для режима течения

$\mathrm{Re}=\frac{\rho v L}{\mu}=\frac{vL}{\nu}$

Число Рейнольдса сравнивает инерционные и вязкие эффекты в течении. Малые значения указывают на доминирование вязкости, большие - на существенную роль инерции и возможный переход к турбулентности.

Физика

Давление Лапласа для капли, пузырька и произвольной поверхности

$\Delta p=\sigma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right);\quad \Delta p_{drop}=\frac{2\sigma}{R},\;\Delta p_{bubble}=\frac{4\sigma}{R}$

Давление Лапласа определяется кривизной поверхности. Для сферической капли оно равно 2σ/R, а для мыльного пузырька с двумя поверхностями — 4σ/R.

Физика

Закон вязкости Ньютона для сдвигового течения

$\tau=\mu\frac{dv}{dy}$

Закон вязкости Ньютона связывает касательное напряжение в жидкости с градиентом скорости. Чем быстрее меняется скорость между соседними слоями и чем больше динамическая вязкость, тем сильнее внутреннее трение.