Физика / Сплошные среды

Закон вязкости Ньютона для сдвигового течения

Закон вязкости Ньютона связывает касательное напряжение в жидкости с градиентом скорости. Чем быстрее меняется скорость между соседними слоями и чем больше динамическая вязкость, тем сильнее внутреннее трение.

Опубликовано: 2 июня 2026 г.Обновлено: 2 июня 2026 г.

Формула

\tau=\mu\frac{dv}{dy}

учебная схема Сдвиг скорости между пластинами

Две пластины и линейный профиль скорости показывают, как градиент dv/dy создает касательное напряжение.

В ньютоновской жидкости напряжение пропорционально скорости сдвига.

Обозначения

$\tau$: касательное напряжение между слоями, Па
$\mu$: динамическая вязкость среды, Па·с
$v$: скорость слоя жидкости вдоль течения, м/с
$y$: координата поперек слоя, м
$dv/dy$: градиент скорости, или скорость сдвига, 1/с

Условия применения

Среда должна вести себя как ньютоновская: касательное напряжение пропорционально скорости сдвига в выбранном диапазоне.
Температура и состав считаются заданными, потому что вязкость сильно зависит от этих параметров.
Градиент скорости берут перпендикулярно направлению потока, а знак выбирают в соответствии с направлением нормали к площадке.

Ограничения

Для суспензий, полимерных растворов, паст и крови простая линейная пропорциональность часто нарушается, поэтому нужны неньютоновские модели.
При турбулентности молекулярная вязкость не описывает весь перенос импульса; дополнительно вводят турбулентную вязкость или замыкающие модели.
В микроканалах и разреженных газах условие прилипания и континуальная модель могут требовать поправок.

Подробное объяснение

Закон вязкости Ньютона описывает внутреннее трение между соседними слоями жидкости или газа. Если один слой движется быстрее другого, молекулярный перенос импульса создает касательное напряжение, которое стремится выровнять скорости.

Ключевая величина - градиент скорости dv/dy. Он показывает, насколько быстро меняется скорость при переходе поперек потока. Динамическая вязкость mu задает меру сопротивления такому сдвигу: вода имеет малую mu, масла - существенно большую.

Линейность формулы означает, что при удвоении скорости сдвига касательное напряжение удваивается. Если профиль скорости ровный и dv/dy=0, вязкое касательное напряжение по этой формуле исчезает. Знак напряжения зависит от выбранного направления оси и нормали к площадке.

В задачах закон используют для течения Куэтта между пластинами, для оценки сил трения на стенках и для вывода распределения скорости в вязком потоке. В полной гидродинамике он превращается в связь между тензором вязких напряжений и симметричной частью градиента скорости.

Важно помнить, что ньютоновская вязкость является свойством модели, а не всех жидкостей. Если напряжение растет нелинейно, зависит от времени сдвига или имеет предел текучести, простая запись tau=mu dv/dy становится только первым приближением.

Как пользоваться формулой

Убедитесь, что среда может считаться ньютоновской при заданной температуре.
Выберите направление скорости и поперечную координату, по которой скорость меняется.
Найдите градиент скорости; для линейного профиля разделите разность скоростей на зазор.
Умножьте градиент на динамическую вязкость в паскаль-секундах.
При необходимости получите силу, умножив касательное напряжение на площадь.

Историческая справка

Идея внутреннего трения в жидкостях развивалась в XVII-XIX веках. Исаак Ньютон в книге Principia 1687 года обсуждал сопротивление жидкостей и связь между относительным движением слоев и силой трения. Позднее эта мысль получила более строгую математическую форму в работах Навье, Стокса и исследователей вязких течений.

В XIX веке опыты с капиллярами, течением между стенками и падением тел в вязких средах показали, что для многих жидкостей касательное напряжение действительно пропорционально скорости сдвига. Такая пропорциональность стала отличительным признаком ньютоновских жидкостей.

В XX веке закон вошел в стандартную запись уравнений Навье - Стокса и инженерную гидравлику. Одновременно развитие реологии показало пределы модели: появились описания пластичных, вязкоупругих и разжижающихся при сдвиге сред, для которых имя Ньютона сохраняется уже как название линейного эталона.

Историческая линия формулы

Название связано с ньютоновской идеей пропорциональности вязкого сопротивления скорости сдвига. Современная тензорная форма закона была уточнена в гидродинамике XIX века, особенно в традиции Навье и Стокса. В учебном изложении важно указывать эту преемственность, потому что современная запись объединяет экспериментальную традицию, математический аппарат и более позднюю стандартизацию обозначений.

Пример

Между двумя параллельными пластинами зазор h=2 мм заполнен маслом с mu=0,20 Па·с. Нижняя пластина неподвижна, верхняя движется со скоростью 0,10 м/с, профиль скорости считаем линейным. Дано: dv/dy=v/h=0,10/0,002=50 1/с. Подстановка: tau=mu dv/dy=0,20*50=10 Па. Ответ: касательное напряжение на пластине равно 10 Па. Проверка: Па·с умножается на 1/с, остается Па; при удвоении скорости или уменьшении зазора вдвое напряжение выросло бы вдвое, что согласуется с линейной моделью. Дополнительная проверка: если изменить главный масштабный параметр в два раза, результат меняется именно так, как предсказывает формула; это подтверждает и размерность, и физический смысл вычисления.

Частая ошибка

Часто путают динамическую и кинематическую вязкость: в законе Ньютона нужна именно mu, а не nu. Вторая ошибка - делить скорость на длину вдоль потока вместо поперечного зазора, хотя сдвиг возникает из изменения скорости между слоями. Третья ошибка - считать напряжение силой; чтобы получить силу, tau умножают на площадь контакта. Еще одна ловушка - применять линейный закон к неньютоновской среде без проверки реологической кривой.

Практика

Задачи с решением

Слой глицерина

Условие. mu=1,0 Па·с, скорость меняется на 0,03 м/с через 1 мм. Найдите tau.

Решение. dv/dy=0,03/0,001=30 1/с. tau=1,0*30.

Ответ. 30 Па

Удвоение зазора

Условие. Скорость пластинки и вязкость прежние, а зазор увеличили в 2 раза. Как изменится tau?

Решение. Градиент скорости обратно пропорционален зазору, значит напряжение уменьшится в 2 раза.

Ответ. tau станет вдвое меньше

Дополнительные источники

I. Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics
F. M. White, Viscous Fluid Flow

Связанные формулы

Физика

Число Рейнольдса для режима течения

$\mathrm{Re}=\frac{\rho v L}{\mu}=\frac{vL}{\nu}$

Число Рейнольдса сравнивает инерционные и вязкие эффекты в течении. Малые значения указывают на доминирование вязкости, большие - на существенную роль инерции и возможный переход к турбулентности.

Физика

Уравнение неразрывности для сжимаемой среды

$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf v)=0$

Уравнение неразрывности выражает локальное сохранение массы в сжимаемой среде. Оно связывает изменение плотности во времени с потоком массы через границы малого объема.

Физика

Закон Гука для изотропного тела через модули Ламе

$\sigma_{ij}=2\mu\varepsilon_{ij}+\lambda\varepsilon_{kk}\delta_{ij}$

Изотропный закон Гука через модули Ламе связывает тензор напряжений с тензором малых деформаций. Параметр mu отвечает за сдвиговую жесткость, а lambda задает вклад объемного изменения в нормальные напряжения.