Физика / Сплошные среды

Уравнение неразрывности для сжимаемой среды

Уравнение неразрывности выражает локальное сохранение массы в сжимаемой среде. Оно связывает изменение плотности во времени с потоком массы через границы малого объема.

Опубликовано: 2 июня 2026 г.Обновлено: 2 июня 2026 г.

Формула

\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf v)=0

учебная схема Баланс массы в малом объеме

Контрольный объем с входящими и выходящими стрелками массового потока rho v показывает связь оттока с изменением плотности.

Если поток массы расходится, плотность внутри объема уменьшается.

Обозначения

$\rho$: массовая плотность среды, кг/м^3
$t$: время, с
$\mathbf v$: вектор скорости среды, м/с
$\nabla\cdot(\rho\mathbf v)$: дивергенция массового потока, кг/(м^3 с)

Условия применения

Среда описывается как континуум: в малом объеме достаточно много частиц, чтобы плотность и скорость были гладкими полями.
В рассматриваемом объеме нет источников и стоков массы, химических превращений с изменением суммарной массы или фазового обмена через скрытые границы.
Скорость понимается как скорость материальной среды, а не как скорость отдельной волны, фронта или подвижной координатной сетки.

Ограничения

Если есть распределенные источники массы, например испарение, инжекция или химическая модель с добавлением вещества, в правой части появляется ненулевой член.
Для разреженных газов, где длина свободного пробега сравнима с размером области, континуальная запись может уступать кинетическому описанию.
Уравнение не определяет скорость само по себе; его решают вместе с уравнениями импульса, энергии и замыкающим уравнением состояния.

Подробное объяснение

Уравнение неразрывности является локальной записью сохранения массы. Если плотность внутри малого объема уменьшается, это означает, что через границу выходит больше массы, чем входит. Если вход и выход сбалансированы, плотность в этом объеме не меняется.

Дивергенция rho v измеряет, насколько массовый поток расходится из точки. Положительная дивергенция означает чистый отток массы и потому должна сопровождаться отрицательной производной плотности по времени. Именно поэтому в формуле стоит сумма двух членов, равная нулю.

Для несжимаемой среды с постоянной rho уравнение сокращается до div v=0. Для сжимаемого газа так делать нельзя: плотность может меняться от давления, температуры и течения. Тогда даже одномерная задача требует следить за произведением rho v, а не только за скоростью.

В расчетах уравнение неразрывности служит проверкой допустимости поля течения. Его используют вместе с динамическими уравнениями, потому что одно сохранение массы не говорит, какие силы создают скорость и как меняется давление.

Особенно важно различать интегральную и дифференциальную формы. Интегральная форма удобна для сопел и труб, где считают массовый расход через сечения. Дифференциальная форма нужна для полей, когда плотность и скорость меняются от точки к точке.

Как пользоваться формулой

Определите, зависит ли плотность от координат и времени.
Составьте массовый поток rho v, а не только поле скорости.
Вычислите производную плотности по времени и дивергенцию массового потока.
Проверьте, равна ли сумма нулю при отсутствии источников массы.
Если баланс не сходится, уточните источники, границы или уравнение состояния.

Историческая справка

Идея сохранения массы в течениях восходит к классической механике жидкостей XVIII века. Леонард Эйлер в 1750-х годах сформулировал дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости, где баланс массы стал естественной частью описания поля скорости и плотности.

В XIX веке развитие гидродинамики, газовой динамики и теории потенциала сделало уравнение неразрывности стандартным инструментом. Инженеры использовали его в интегральной форме для расходов через трубы и каналы, а математики записывали локальную форму через дивергенцию потока.

В XX веке та же запись вошла в уравнения Навье - Стокса, аэродинамику больших скоростей, вычислительную гидродинамику и атмосферные модели. Название подчеркивает не отсутствие разрывов вообще, а непрерывный баланс массы при движении среды через контрольный объем.

Историческая линия формулы

Уравнение связывают с эйлеровой традицией механики сплошных сред и общим законом сохранения массы. Современная форма через partial rho/partial t и div(rho v) является результатом развития анализа полей, а не отдельной формулой одного автора.

Пример

В одномерном канале плотность газа в точке не меняется во времени, а массовый поток rho v зависит от x как rho v=12-0,5x в единицах кг/(м^2 с). Дано: partial rho/partial t=0, d(rho v)/dx=-0,5 кг/(м^3 с). Проверим уравнение: partial rho/partial t+d(rho v)/dx=0+(-0,5)=-0,5, то есть без источника массы условие не выполнено. Чтобы баланс был верен, нужен источник q=0,5 кг/(м^3 с) в правой части модифицированного уравнения. Ответ: заданное поле не описывает замкнутое сохранение массы. Проверка единиц: производная массового потока по координате имеет кг/(м^3 с), как и скорость изменения плотности.

Частая ошибка

Часто забывают множитель rho внутри дивергенции и пишут div v=0 для любого потока. Это верно только для несжимаемой среды с постоянной плотностью. Еще одна ошибка - считать, что стационарность означает нулевой массовый поток; на самом деле при partial rho/partial t=0 требуется нулевая дивергенция rho v. Также путают объемный расход и массовый расход: при переменной плотности постоянный объемный расход не гарантирует сохранение массы. Исправление - начинать с баланса массы через контрольный объем.

Практика

Задачи с решением

Постоянный массовый поток

Условие. В одномерной трубе rho v=8 кг/(м^2 с) постоянно, а течение стационарно. Выполнено ли уравнение?

Решение. Производная плотности по времени равна нулю, d(rho v)/dx=0, значит сумма членов равна нулю.

Ответ. да, сохранение массы выполнено

Нестационарная плотность

Условие. В точке partial rho/partial t=0,3 кг/(м^3 с). Какой должна быть div(rho v)?

Решение. Из уравнения div(rho v)=-partial rho/partial t.

Ответ. -0,3 кг/(м^3 с)

Дополнительные источники

G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics
L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics
P. K. Kundu, I. M. Cohen, Fluid Mechanics

Связанные формулы

Физика

Число Рейнольдса для режима течения

$\mathrm{Re}=\frac{\rho v L}{\mu}=\frac{vL}{\nu}$

Число Рейнольдса сравнивает инерционные и вязкие эффекты в течении. Малые значения указывают на доминирование вязкости, большие - на существенную роль инерции и возможный переход к турбулентности.

Физика

Закон вязкости Ньютона для сдвигового течения

$\tau=\mu\frac{dv}{dy}$

Закон вязкости Ньютона связывает касательное напряжение в жидкости с градиентом скорости. Чем быстрее меняется скорость между соседними слоями и чем больше динамическая вязкость, тем сильнее внутреннее трение.

Физика

Градиент давления в гидростатике

$\nabla p=\rho\mathbf g$

Гидростатический градиент давления показывает, как давление меняется в покоящейся жидкости под действием объемной силы тяжести. В вертикальной оси он приводит к привычной зависимости dp/dz=-rho g при z вверх.