Физика / Сплошные среды

Закон Гука для изотропного тела через модули Ламе

Изотропный закон Гука через модули Ламе связывает тензор напряжений с тензором малых деформаций. Параметр mu отвечает за сдвиговую жесткость, а lambda задает вклад объемного изменения в нормальные напряжения.

Опубликовано: 2 июня 2026 г.Обновлено: 2 июня 2026 г.

Формула

\sigma_{ij}=2\mu\varepsilon_{ij}+\lambda\varepsilon_{kk}\delta_{ij}

учебная схема Разложение напряжения в изотропном теле

Схема показывает кубический элемент с нормальными и сдвиговыми напряжениями, связанными с объемной и формоизменяющей деформацией.

Модуль mu управляет сдвигом, а lambda добавляет вклад от изменения объема.

Обозначения

$\sigma_{ij}$: компонента тензора напряжений, Па
$\varepsilon_{ij}$: компонента тензора малых деформаций, безразмерная
$\mu$: второй модуль Ламе, равный модулю сдвига, Па
$\lambda$: первый модуль Ламе, Па
$\varepsilon_{kk}$: след тензора деформаций, относительное объемное изменение в малой теории, безразмерная
$\delta_{ij}$: символ Кронекера, без единиц

Условия применения

Материал должен быть изотропным и линейно-упругим в рассматриваемом диапазоне нагрузок, без пластического течения и повреждения.
Используется тензор малых деформаций, поэтому градиенты перемещений малы, а квадратичные геометрические поправки несущественны.
Напряжения и деформации записываются в одной системе координат, а знак растяжения и сжатия выбран последовательно.

Ограничения

Для кристаллов, композитов и слоистых сред с выраженной анизотропией нужны другие матрицы упругих постоянных, а двух модулей Ламе недостаточно.
При больших деформациях, пластичности, ползучести, трещинообразовании или температурной усадке формулу дополняют или заменяют конститутивной моделью.
Почти несжимаемые материалы требуют аккуратной численной постановки: при коэффициенте Пуассона, близком к 0,5, параметр lambda становится очень большим.

Подробное объяснение

Закон Гука в форме Ламе дает трехмерную связь между малыми деформациями и напряжениями в изотропном теле. Он показывает, что любое напряженное состояние можно разложить на сдвиговую часть и объемную часть, связанную со следом тензора деформаций.

Слагаемое 2mu eps_ij отвечает за изменение формы. Если элемент испытывает чистый сдвиг без изменения объема, работает именно модуль mu. Слагаемое lambda eps_kk delta_ij появляется только в нормальных компонентах и добавляет одинаковый вклад к давлениям по главным направлениям.

При увеличении всех деформаций в два раза все напряжения тоже удваиваются, потому что закон линейный. Если след деформаций равен нулю, объемный вклад исчезает, но сдвиговые напряжения остаются. Если деформация чисто объемная, девиаторная часть не определяет форму, а нормальные напряжения становятся одинаковыми.

В практических задачах формула чаще всего идет после вычисления тензора деформаций. Сначала находят eps_ij из перемещений, затем подставляют упругие постоянные материала и получают sigma_ij. После этого проверяют прочность, равновесие, граничные усилия или энергию деформации.

Модули Ламе удобны в тензорной записи, но в инженерных справочниках чаще даны E и nu. Тогда используют mu=E/[2(1+nu)] и lambda=E nu/[(1+nu)(1-2nu)]. Эти соотношения верны только для той же линейной изотропной модели.

Как пользоваться формулой

Найдите все нужные компоненты тензора малых деформаций.
Вычислите след eps_kk как сумму трех нормальных деформаций.
Переведите модули Ламе в паскали и используйте одну систему единиц.
Для нормальных компонент добавьте оба слагаемых закона Гука.
Для сдвиговых компонент оставьте только 2mu eps_ij, потому что delta_ij=0.

Историческая справка

Обобщение закона Гука на трехмерные тела формировалось в XIX веке вместе с математической теорией упругости. Роберт Гук в 1678 году сформулировал пропорциональность силы и удлинения для простых упругих тел, но тензорная запись появилась намного позже, когда Коши ввел понятие напряжения в точке, а Навье, Пуассон, Ламе и Сен-Венан развивали уравнения упругого равновесия.

Габриэль Ламе в первой половине XIX века работал над теорией упругости и математической физикой. В этой традиции два параметра стали удобным способом записать изотропные упругие свойства, потому что симметрия материала резко сокращает число независимых констант.

В XX веке форма sigma_ij=2mu eps_ij+lambda eps_kk delta_ij стала базовой в курсах механики сплошных сред и в конечно-элементных методах. Она сохранила связь с простым законом Гука, но стала языком для трехмерных задач, где растяжение, сжатие и сдвиг действуют одновременно.

Историческая линия формулы

Название модулей связано с работами Габриэля Ламе и французской школой математической физики XIX века. Сам трехмерный закон упругости является результатом развития идей Гука, Коши, Навье, Пуассона, Ламе и Сен-Венана, поэтому его не сводят к одному автору.

Пример

Материал имеет lambda=40 ГПа и mu=30 ГПа. В точке заданы eps_xx=0,001, eps_yy=0,0005, eps_zz=0, eps_xy=0,0002. Дано: след eps_kk=0,0015. Нужно найти sigma_xx и sigma_xy. Подстановка: sigma_xx=2mu eps_xx+lambda eps_kk=2*30 ГПа*0,001+40 ГПа*0,0015=0,060 ГПа+0,060 ГПа=0,120 ГПа. Для сдвига delta_xy=0, поэтому sigma_xy=2mu eps_xy=2*30 ГПа*0,0002=0,012 ГПа. Ответ: sigma_xx=120 МПа, sigma_xy=12 МПа. Проверка: деформации безразмерны, модуль в паскалях, значит напряжения получаются в паскалях; сдвиг зависит только от mu. Дополнительная проверка: если изменить главный масштабный параметр в два раза, результат меняется именно так, как предсказывает формула; это подтверждает и размерность, и физический смысл вычисления.

Частая ошибка

Первую ошибку делают при суммировании eps_kk: след включает только eps_xx+eps_yy+eps_zz, а не сдвиговые компоненты. Вторая ошибка - использовать инженерный сдвиг gamma_xy вместо тензорной eps_xy без деления на два. Третья ошибка - считать lambda модулем объемного сжатия: объемный модуль K связан с модулями Ламе как K=lambda+2mu/3. Еще одна ловушка - подставлять гигапаскали и мегапаскали в одной строке без перевода, из-за чего ответ меняется в тысячу раз.

Практика

Задачи с решением

Чистый сдвиг

Условие. Дано mu=25 ГПа, eps_xy=0,0004, след деформаций равен нулю. Найдите sigma_xy.

Решение. Для i не равно j символ Кронекера равен нулю, поэтому sigma_xy=2mu eps_xy=2*25 ГПа*0,0004.

Ответ. sigma_xy=20 МПа

Объемный вклад

Условие. lambda=50 ГПа, mu=20 ГПа, eps_xx=0,001, eps_yy=eps_zz=0. Найдите sigma_xx.

Решение. След равен 0,001. sigma_xx=2*20 ГПа*0,001+50 ГПа*0,001=0,090 ГПа.

Ответ. sigma_xx=90 МПа

Дополнительные источники

L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Theory of Elasticity
S. P. Timoshenko, J. N. Goodier, Theory of Elasticity
J. N. Reddy, An Introduction to Continuum Mechanics

Связанные формулы

Физика

Тензор малых деформаций в сплошной среде

$\varepsilon_{ij}=\frac12\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$

Тензор малых деформаций описывает локальное растяжение, сжатие и сдвиг сплошной среды через производные перемещений. Он отделяет истинную деформацию от поворота малого элемента и служит основой линейной теории упругости.

Физика

Закон вязкости Ньютона для сдвигового течения

$\tau=\mu\frac{dv}{dy}$

Закон вязкости Ньютона связывает касательное напряжение в жидкости с градиентом скорости. Чем быстрее меняется скорость между соседними слоями и чем больше динамическая вязкость, тем сильнее внутреннее трение.

Физика

Градиент давления в гидростатике

$\nabla p=\rho\mathbf g$

Гидростатический градиент давления показывает, как давление меняется в покоящейся жидкости под действием объемной силы тяжести. В вертикальной оси он приводит к привычной зависимости dp/dz=-rho g при z вверх.