Физика / Сплошные среды

Тензор малых деформаций в сплошной среде

Тензор малых деформаций описывает локальное растяжение, сжатие и сдвиг сплошной среды через производные перемещений. Он отделяет истинную деформацию от поворота малого элемента и служит основой линейной теории упругости.

Опубликовано: 2 июня 2026 г.Обновлено: 2 июня 2026 г.

Формула

\varepsilon_{ij}=\frac12\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)

учебная схема Малый элемент до и после деформации

Схема показывает квадратный элемент, его удлинение вдоль осей и изменение прямого угла при сдвиге.

Симметричная часть градиента перемещений отделяет деформацию от малого поворота.

Обозначения

$\varepsilon_{ij}$: компонента тензора малых деформаций, безразмерная
$u_i,u_j$: компоненты вектора перемещения точки среды, м
$x_i,x_j$: пространственные координаты в выбранной системе отсчета, м
$i,j$: индексы координатных направлений, без единиц

Условия применения

Перемещения могут быть ненулевыми, но градиенты перемещений должны быть малы: квадратичные члены вида (partial u/partial x)^2 не должны заметно влиять на результат.
Среда рассматривается как сплошная, а поле перемещений достаточно гладкое, чтобы частные производные имели физический смысл в малой окрестности точки.
Координатная система фиксируется заранее; компоненты тензора сравнивают только после приведения к одной и той же базе.

Ограничения

При больших поворотах и конечных растяжениях линейный тензор дает неверную меру: нужно использовать тензор Грина - Лагранжа, Альманси или другую конечную меру деформации.
Формула сама по себе не задает материал. Для напряжений требуется отдельная связь, например изотропный закон Гука или нелинейная конститутивная модель.
В зонах разрыва, трещин, пластических полос и контакта гладкая производная перемещений может не существовать, поэтому используют усреднение или специальные модели.

Подробное объяснение

Тензор малых деформаций показывает, как меняются расстояния между близкими точками сплошной среды. Его диагональные компоненты отвечают за относительное удлинение вдоль координатных осей, а внедиагональные компоненты описывают сдвиг формы малого элемента.

Идея формулы состоит в симметризации градиента перемещений. Если взять только partial u_i/partial x_j, в нем смешаны два эффекта: растяжение и жесткий поворот. Сумма с переставленными индексами убирает чисто вращательную часть первого порядка и оставляет меру изменения формы.

При малых деформациях результат безразмерен и обычно имеет порядок 10^-4, 10^-3 или 10^-2. Если все компоненты увеличить вдвое, связанные линейным законом напряжения тоже увеличатся вдвое. Знак важен: положительная нормальная компонента означает растяжение, отрицательная - локальное сжатие.

В задачах формулу используют после нахождения поля перемещений: из решения уравнений равновесия, из измерений методом цифровой корреляции изображений или из конечно-элементного расчета. Потом тензор деформаций соединяют с законом материала и получают напряжения.

Важно не смешивать тензорную и инженерную запись сдвига. В матрице малых деформаций стоит eps_xy, а в классических формулах сопротивления материалов часто используют gamma_xy=2eps_xy. Эта разница особенно заметна при переходе между учебными задачами и матричной записью.

Как пользоваться формулой

Запишите компоненты поля перемещений u_x, u_y, u_z в одной системе координат.
Найдите нужные частные производные перемещений по координатам.
Для диагональных компонент используйте eps_xx=partial u_x/partial x и аналогичные записи.
Для сдвиговых компонент сложите две перекрестные производные и разделите сумму на два.
Проверьте, что найденные градиенты малы; иначе выберите теорию конечных деформаций.

Историческая справка

Линейная теория деформаций выросла из работ XIX века по упругости и сопротивлению материалов. Огюстен Луи Коши в 1820-х годах дал тензорный язык напряжений, а Джордж Грин в 1830-х развивал энергетический подход к упругим телам. В инженерной традиции те же идеи долго записывались через удлинения и углы сдвига стержней, балок и пластин.

Современная компактная запись через симметричную часть градиента перемещений стала естественной после развития векторного и тензорного анализа во второй половине XIX - начале XX века. Она позволила одинаково описывать одномерное растяжение, плоскую деформацию и трехмерное состояние без набора отдельных геометрических правил.

В XX веке формула стала стандартным входом для линейной теории упругости, сейсмологии, механики грунтов и конечно-элементных программ. Ее историческая сила не в единственном открытии, а в удачном соединении геометрии малых перемещений с тензорной записью законов материала.

Историческая линия формулы

Формулу корректно связывать с развитием классической теории упругости от Коши, Грина, Сен-Венана и последующей тензорной традиции. Единственного автора современной записи выделять не стоит: она возникла как общий язык линейной механики сплошных сред.

Пример

Стержень растянут так, что поле перемещений вблизи точки задано u_x=0,002x+0,001y, u_y=0,001x, u_z=0. Дано: partial u_x/partial x=0,002, partial u_x/partial y=0,001, partial u_y/partial x=0,001, остальные нужные производные равны нулю. Нужно найти eps_xx и eps_xy. Подстановка: eps_xx=1/2(du_x/dx+du_x/dx)=0,002. Для сдвига eps_xy=1/2(du_x/dy+du_y/dx)=1/2(0,001+0,001)=0,001. Ответ: нормальная деформация вдоль x равна 2,0*10^-3, инженерный сдвиг gamma_xy был бы 2eps_xy=2,0*10^-3. Проверка: величины безразмерны, а порядок 10^-3 соответствует малым деформациям, поэтому линейная запись допустима.

Частая ошибка

Частая ошибка - принимать градиент перемещений целиком за деформацию. Антисимметричная часть градиента описывает малый поворот, а не растяжение материала, поэтому ее нельзя подставлять в закон упругости как деформацию. Вторая ошибка - путать тензорный сдвиг eps_xy с инженерным сдвигом gamma_xy: они отличаются множителем 2. Третья ошибка - применять малые деформации при большом повороте тела, когда длины почти не меняются, но производные перемещений уже не малы. Исправление простое: сначала оценить градиенты, затем выбрать меру деформации под масштаб движения.

Практика

Задачи с решением

Нормальная деформация

Условие. Поле перемещений задано u_x=0,003x, u_y=0, u_z=0. Найдите eps_xx.

Решение. Берем производную u_x по x: eps_xx=partial u_x/partial x=0,003.

Ответ. eps_xx=3,0*10^-3

Сдвиговая компонента

Условие. Дано u_x=0,004y, u_y=0,002x. Найдите eps_xy и инженерный сдвиг gamma_xy.

Решение. eps_xy=1/2(0,004+0,002)=0,003. Инженерный сдвиг равен 2eps_xy.

Ответ. eps_xy=0,003; gamma_xy=0,006

Дополнительные источники

L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Theory of Elasticity
A. E. H. Love, A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity
J. N. Reddy, An Introduction to Continuum Mechanics

Связанные формулы

Физика

Закон Гука для изотропного тела через модули Ламе

$\sigma_{ij}=2\mu\varepsilon_{ij}+\lambda\varepsilon_{kk}\delta_{ij}$

Изотропный закон Гука через модули Ламе связывает тензор напряжений с тензором малых деформаций. Параметр mu отвечает за сдвиговую жесткость, а lambda задает вклад объемного изменения в нормальные напряжения.

Физика

Уравнение неразрывности для сжимаемой среды

$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf v)=0$

Уравнение неразрывности выражает локальное сохранение массы в сжимаемой среде. Оно связывает изменение плотности во времени с потоком массы через границы малого объема.

Физика

Закон вязкости Ньютона для сдвигового течения

$\tau=\mu\frac{dv}{dy}$

Закон вязкости Ньютона связывает касательное напряжение в жидкости с градиентом скорости. Чем быстрее меняется скорость между соседними слоями и чем больше динамическая вязкость, тем сильнее внутреннее трение.