Все формулы РФ

Физика / Молекулярная физика

Давление Лапласа для капли, пузырька и произвольной поверхности

Давление Лапласа определяется кривизной поверхности. Для сферической капли оно равно 2σ/R, а для мыльного пузырька с двумя поверхностями — 4σ/R.

Опубликовано: Обновлено:

Молекулярная физикаСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаФормулы высшей физики

Формула

$$\Delta p=\sigma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right);\quad \Delta p_{drop}=\frac{2\sigma}{R},\;\Delta p_{bubble}=\frac{4\sigma}{R}$$
График Δp, Па и R, мм
Δp, Па в зависимости от R, ммΔp, Па00,564,81,131301,751942,382593R, мм

Тонкий мыльный пузырёк: две поверхности, σ = 0,030 Н/м. Газовый пузырь в жидкости требует другой кратности.

Обозначения

$Δp$
давление внутри минус снаружи, Па
$σ$
поверхностное натяжение, Н/м
$R₁,R₂$
главные радиусы кривизны, м
$R$
радиус сферы, м

Условия применения

Поверхность покоится, σ однородно, кривизна локально описывается двумя главными радиусами. Для капли одна граница жидкость–газ, для мыльного пузырька две жидкие поверхности.

Ограничения

При градиентах σ, вязком движении, деформации и наличии твёрдой стенки нужны дополнительные условия. Нельзя использовать 2σ/R для мыльного пузырька: две поверхности дают 4σ/R.

Подробное объяснение

Давление Лапласа — механический скачок давления, необходимый для уравновешивания поверхностного натяжения на искривлённой границе. В общем случае вклад двух главных кривизн складывается: Δp = σ(1/R₁+1/R₂). Для сферы R₁ = R₂ = R, поэтому одна поверхность даёт 2σ/R.

У мыльного пузырька есть внутренняя и внешняя поверхности плёнки. Каждая создаёт скачок σ(1/R+1/R) = 2σ/R, поэтому суммарно Δp = 4σ/R. Именно число поверхностей объясняет разницу между каплей и пузырьком одинакового радиуса.

Для выпуклой поверхности давление внутри больше внешнего; знак меняется при вогнутой геометрии. Формула даёт локальный перепад, а не абсолютное давление: внешнее атмосферное давление добавляется отдельно.

Размерность σ/R равна Н/м² = Па. Малые капли имеют большой перепад давления, поэтому стремятся к укрупнению при коалесценции. При неодинаковой σ возникают тангенциальные силы Марангони, и простой статический баланс уже недостаточен.

Перед подстановкой нарисуйте поверхность, определите R₁,R₂ и сосчитайте свободные границы. Это предотвращает ошибки в два раза и неверный знак.

Как пользоваться формулой

  1. Опишите процесс и укажите постоянные величины.
  2. Переведите все данные в СИ и температуру в К.
  3. Выразите неизвестную величину символически.
  4. Подставьте реальные числа и сохраните промежуточный результат.
  5. Проверьте знак, размерность и физический предел.

Историческая справка

Идея скачка давления на искривлённой поверхности развивалась вместе с теорией капиллярности. Пьер-Симон Лаплас в начале XIX века связал давление с кривизной поверхности и поверхностным натяжением, обобщив наблюдения о каплях и менисках. Позднее геометрическое описание главных кривизн стало частью дифференциальной геометрии поверхностей и гидродинамики. Различие между каплей и мыльным пузырьком показало практическую важность числа поверхностей плёнки. Современная формула используется в аэрозолях, эмульсиях, пенах и микрофлюидике, но градиенты поверхностного натяжения и динамическая деформация требуют расширенных моделей. Для тонкой плёнки учитывают обе границы и близость их радиусов.

Историческая линия формулы

Давление кривой поверхности обычно связывают с Лапласом. Современная запись через два главных радиуса — общий результат капиллярной механики; коэффициенты 2 и 4 для сферы следуют из числа поверхностей, а не являются разными законами.

Пример

Мыльный пузырёк имеет радиус R = 1,0 мм и σ = 0,030 Н/м. В плёнке две поверхности, поэтому Δp = 4σ/R = 4 · 0,030/0,001 = 120 Па. Для водяной капли того же радиуса и σ = 0,072 Н/м перепад был бы Δp = 2σ/R = 144 Па. Несмотря на меньший σ, пузырёк даёт сравнимый перепад из-за двух поверхностей. Если внешнее давление 101325 Па, внутреннее давление пузырька около 101445 Па. Газовый пузырёк внутри жидкости имеет одну границу и рассчитывается как 2σ/R. Коэффициент 4 относится именно к тонкой мыльной плёнке с двумя почти одинаковыми радиусами. В формулу подставляют радиус, а не диаметр, иначе ответ отличается вдвое.

Частая ошибка

Мыльный пузырёк имеет две границы и перепад 4σ/R, а газовый пузырь в жидкости одну и перепад 2σ/R. Нельзя путать радиус с диаметром или добавочное давление с абсолютным. Для несферической поверхности два главных радиуса могут различаться, а знак кривизны должен согласовываться с выбранным направлением нормали.

Практика

Задачи с решением

Капля масла

Условие. σ = 0,025 Н/м, R = 0,50 мм.

Решение. Δp = 2σ/R = 0,050/0,00050 = 100 Па.

Ответ. Δp = 100 Па

Пузырь в мыльной плёнке

Условие. σ = 0,040 Н/м, R = 2,0 мм.

Решение. Δp = 4σ/R = 0,160/0,0020 = 80 Па.

Ответ. Δp = 80 Па

Дополнительные источники

  • https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/11-8-cohesion-and-adhesion-in-liquids-surface-tension-and-capillary-action
  • https://goldbook.iupac.org/terms/view/S06192

Связанные формулы

Физика

Капиллярный подъём жидкости

$h=\frac{2\sigma\cos\theta}{\rho g r}$

Высота капиллярного подъёма h определяется поверхностным натяжением, краевым углом, плотностью жидкости и радиусом трубки.