Все формулы РФ

Физика / Молекулярная физика

Капиллярный подъём жидкости

Высота капиллярного подъёма h определяется поверхностным натяжением, краевым углом, плотностью жидкости и радиусом трубки.

Опубликовано: Обновлено:

Молекулярная физикаСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаФормулы высшей физики

Формула

$$h=\frac{2\sigma\cos\theta}{\rho g r}$$
График h, см и r, мм
h, см в зависимости от r, ммh, см00,21,980,653,961,15,941,557,932r, мм

Полное смачивание: θ = 0°, σ = 0,072 Н/м, ρ = 1000 кг/м³.

Обозначения

$h$
высота подъёма относительно внешнего уровня, м
$σ$
коэффициент поверхностного натяжения, Н/м
$θ$
краевой угол смачивания, рад или °
$ρ$
плотность жидкости, кг/м³
$g$
ускорение свободного падения, м/с²
$r$
радиус капилляра, м

Условия применения

Трубка цилиндрическая, жидкость однородна и покоится, мениск установился, краевой угол постоянен. Контактная линия круглая, радиус r много больше молекулярного масштаба.

Ограничения

В узких, загрязнённых или наклонных капиллярах краевой угол может зависеть от истории. Для больших трубок и сложных менисков приближение сферического мениска требует поправок.

Подробное объяснение

Подъём возникает из баланса вертикальной составляющей силы поверхностного натяжения и веса поднятого столба. По окружности капилляра действует 2πrσcosθ, а вес цилиндрического столба равен ρgπr²h. Приравнивание даёт h = 2σcosθ/(ρgr).

Если θ<90°, cosθ положителен и жидкость поднимается; при θ>90° получается опускание. Вода в чистом стекле обычно смачивает стенки, ртуть — нет, но конкретные значения зависят от чистоты и подготовки поверхности.

Высота обратно пропорциональна радиусу: тонкий капилляр даёт высокий подъём. Плотная жидкость или слабое σ уменьшают h. Единицы проверяются: (Н/м)/(кг/м³ · м/с² · м) = м.

Формула учитывает одну свободную поверхность мениска и контактную линию. Она не является законом для подъёма в пористой среде без определения эффективного радиуса и распределения пор.

При эксперименте измеряют уровень относительно внешней поверхности, а не от дна трубки. Краевой угол нужно брать в радианах только внутри вычислителя тригонометрии, если он ожидает радианы.

Как пользоваться формулой

  1. Опишите процесс и укажите постоянные величины.
  2. Переведите все данные в СИ и температуру в К.
  3. Выразите неизвестную величину символически.
  4. Подставьте реальные числа и сохраните промежуточный результат.
  5. Проверьте знак, размерность и физический предел.

Историческая справка

Количественное изучение капиллярности связало высоту жидкого столба с размером трубки и взаимодействием жидкости со стенкой. Теория Юнга и Лапласа позволила описывать смачивание и давление искривлённой поверхности, а равновесие с гидростатическим столбом дало связь с высотой подъёма.

В механическом выводе вертикальная проекция силы натяжения по окружности уравновешивает вес поднятого столба, а не только вес самого мениска. Термодинамическое описание связывает краевой угол с энергиями межфазных границ. Эти подходы объясняют, почему одна жидкость поднимается в чистой трубке, а другая опускается относительно внешнего уровня. В современных применениях к пористым материалам учитывают распределение размеров каналов, загрязнение и гистерезис смачивания; простая цилиндрическая модель служит исходным приближением.

Историческая линия формулы

Формула капиллярного подъёма выводится из равновесия сил поверхностного натяжения и тяжести. Теория Юнга–Лапласа даёт связанное описание через краевой угол и кривизну мениска; сам расчёт относится к идеализированной круглой трубке и установившемуся уровню жидкости.

Пример

Для воды σ = 0,072 Н/м, ρ = 1000 кг/м³, r = 0,50 мм, θ = 0°, g = 9,81 м/с². h = 2 · 0,072 · 1/(1000 · 9,81 · 0,00050) = 0,02936 м, то есть 2,94 см. При r = 1,00 мм высота станет вдвое меньше: 1,47 см. Положительный знак означает подъём при полном смачивании. Если θ = 120°, cosθ = −0,5 и при r = 0,50 мм получится h = −1,47 см — уровень опустится. Краевой угол отсчитывают внутри жидкости. В балансе сил вверх направлена вертикальная проекция силы вдоль окружности, а вниз — вес поднятого столба относительно внешнего уровня. Масса самого мениска в этом приближении мала.

Частая ошибка

Радиус капилляра нельзя заменять диаметром. Краевой угол измеряют внутри жидкости: при θ > 90° косинус отрицателен и получается понижение уровня. Высоту отсчитывают от внешней свободной поверхности. Загрязнение стенки меняет смачивание, а масса мениска и сложная геометрия ограничивают простую формулу цилиндрического столба.

Практика

Задачи с решением

Узкий капилляр

Условие. σ = 0,050 Н/м, ρ = 800 кг/м³, r = 0,25 мм, θ = 0°.

Решение. h = 0,100/(800 · 9,81 · 0,00025) = 0,05096 м.

Ответ. h≈5,10 см

Неполное смачивание

Условие. σ = 0,060 Н/м, ρ = 900 кг/м³, r = 1,0 мм, θ = 60°.

Решение. h = 2 · 0,060 · 0,5/(900 · 9,81 · 0,001) = 0,00680 м.

Ответ. h≈6,80 мм

Дополнительные источники

  • https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/11-8-cohesion-and-adhesion-in-liquids-surface-tension-and-capillary-action
  • https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/11-4-variation-of-pressure-with-depth-in-a-fluid

Связанные формулы

Физика

Давление Лапласа для капли, пузырька и произвольной поверхности

$\Delta p=\sigma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right);\quad \Delta p_{drop}=\frac{2\sigma}{R},\;\Delta p_{bubble}=\frac{4\sigma}{R}$

Давление Лапласа определяется кривизной поверхности. Для сферической капли оно равно 2σ/R, а для мыльного пузырька с двумя поверхностями — 4σ/R.

Физика

Закон Пуазёйля для ламинарного течения

$Q=\frac{\pi r^4\Delta p}{8\eta L}$

Объёмный расход вязкой жидкости в длинной цилиндрической трубке при ламинарном течении равен πr⁴Δp/(8ηL). Четвёртая степень радиуса делает расход особенно чувствительным к диаметру.