Физика / Молекулярная физика
Закон Пуазёйля для ламинарного течения
Объёмный расход вязкой жидкости в длинной цилиндрической трубке при ламинарном течении равен πr⁴Δp/(8ηL). Четвёртая степень радиуса делает расход особенно чувствительным к диаметру.
Формула
Δp = 20 кПа, η = 0,10 Па·с, L = 0,50 м. Рост расхода как четвёртая степень радиуса.
Обозначения
- $Q$
- объёмный расход, м³/с
- $r$
- внутренний радиус трубки, м
- $Δp$
- перепад давления вдоль трубки, Па
- $η$
- динамическая вязкость, Па·с
- $L$
- длина трубки, м
Условия применения
Жидкость ньютоновская и несжимаемая, течение стационарное, полностью развитое и ламинарное, трубка круглая с жёсткими стенками. На стенке выполняется условие прилипания. Развитие профиля во входной области и местные потери рассматривают отдельно.
Ограничения
При турбулентности, короткой трубке, пульсациях, неньютоновской жидкости или заметной сжимаемости закон требует поправок. Расход пропорционален r⁴ только при сохранении остальных условий.
Подробное объяснение
Закон Пуазёйля даёт объём жидкости, проходящий через сечение за секунду. В ламинарном режиме слои движутся без перемешивания: скорость максимальна на оси и падает до нуля у стенки. Интегрирование профиля скорости по площади приводит к Q = πr⁴Δp/(8ηL).
Четвёртая степень радиуса — главный практический результат. Увеличение радиуса вдвое увеличивает расход в 16 раз, тогда как удвоение длины или вязкости уменьшает его вдвое. Поэтому небольшое сужение капилляра резко повышает гидравлическое сопротивление.
Размерность проверяется: r⁴Δp/(ηL) даёт м³/с. Перепад давления должен быть положительным в направлении потока; если записать обратное направление, знак расхода меняется.
Формула описывает объёмный, а не массовый расход. Массовый расход равен ρQ, если плотность постоянна. При профиле, развившемся после входа, средняя скорость связана с расходом как Q = πr²v̄.
Перед расчётом оцените число Рейнольдса и геометрию. В микроканале стенки и входной участок могут быть важны, а для крови и полимерных растворов ньютоновская модель иногда недостаточна.
Как пользоваться формулой
- Опишите процесс и укажите постоянные величины.
- Переведите все данные в СИ и температуру в К.
- Выразите неизвестную величину символически.
- Подставьте реальные числа и сохраните промежуточный результат.
- Проверьте знак, размерность и физический предел.
Историческая справка
Закон Пуазёйля возник из изучения движения жидкостей в тонких трубках и капиллярах. Жан Леонар Мари Пуазёйль в XIX веке исследовал течение крови и получил зависимость расхода от давления, радиуса и вязкости. Готтхильф Хаген независимо изучал близкую закономерность, поэтому в литературе встречается название закона Хагена–Пуазёйля. Развитие гидродинамики и уравнений Навье–Стокса объяснило параболический профиль скорости и ограничение малым числом Рейнольдса. Сегодня формула используется в микрофлюидике и медицинских моделях, но всегда сопровождается условиями ньютоновской жидкости, стационарности и полностью развитого ламинарного потока. В учебной модели стенка неподвижна и на ней выполняется условие прилипания.
Историческая линия формулы
Закон связывают с Пуазёйлем и Хагеном, но современная формула опирается на более общую гидродинамику вязких жидкостей. Она является пределом для установившегося ламинарного течения в цилиндрической трубке. Параболический профиль следует из баланса вязких сил и градиента давления.
Пример
Масло с вязкостью η = 0,10 Па · с течёт по трубке длиной L = 0,50 м и радиусом r = 1,0 мм при перепаде Δp = 20 кПа. Q = π(1,0 · 10⁻³)⁴ · 20000/(8 · 0,10 · 0,50) = 1,571 · 10⁻⁷ м³/с, то есть 157,1 мкл/с. Если радиус увеличить до 2,0 мм при тех же условиях, расход станет в 16 раз больше: 2,51 · 10⁻⁶ м³/с. Это показывает, почему радиус измеряют особенно тщательно. Для масла с плотностью 900 кг/м³ средняя скорость Q/(πr²) равна 0,050 м/с, а число Рейнольдса 2ρvr/η = 0,90. Это согласуется с ламинарной моделью. Указанный перепад относится к установившемуся участку трубки; входные и местные потери в него не включены.
Частая ошибка
Радиус входит в четвёртой степени: замена его диаметром увеличивает ответ в 16 раз. Расход в м³/с не является скоростью в м/с. Перепад давления берут вдоль развитого участка и не смешивают с абсолютным давлением. Формула предполагает ламинарный профиль, поэтому после расчёта полезно проверить Re и отсутствие существенных входных потерь.
Практика
Задачи с решением
Капилляр
Условие. r = 0,50 мм, L = 0,20 м, η = 1,0 · 10⁻³ Па · с, Δp = 10 кПа.
Решение. Q = π(5 · 10⁻⁴)⁴ · 10000/(8 · 10⁻³ · 0,20) = 1,227 · 10⁻⁶ м³/с.
Ответ. Q≈1,23 · 10⁻⁶ м³/с
Вязкость по расходу
Условие. Q = 2,0 · 10⁻⁹ м³/с, r = 1 мм, L = 0,40 м, Δp = 10 кПа.
Решение. η = πr⁴Δp/(8LQ) = 4,91 Па · с.
Ответ. η≈4,91 Па · с
Дополнительные источники
- https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/12-4-viscosity-and-laminar-flow-poiseuilles-law
- https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/12-5-the-onset-of-turbulence
Связанные формулы
Физика
Сила сопротивления Стокса при малом числе Рейнольдса
При медленном движении сферической частицы в вязкой жидкости сила сопротивления Стокса пропорциональна вязкости, радиусу и скорости.
Физика
Первый закон Фика для диффузионного потока
Первый закон Фика связывает поток вещества J с градиентом концентрации: частицы диффундируют в сторону убывания c, а коэффициент D задаёт интенсивность переноса.
Физика
Гидростатическое давление в жидкости
Гидростатическое давление в жидкости: формула p=\rho gh помогает связать давление, силу, площадь, глубину или выталкивание в одной модели. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.