Физика / Молекулярная физика

Первый закон Фика для диффузионного потока

Первый закон Фика связывает поток вещества J с градиентом концентрации: частицы диффундируют в сторону убывания c, а коэффициент D задаёт интенсивность переноса.

Опубликовано: 6 октября 2026 г.Обновлено: 6 октября 2026 г.

Формула

J=-D\frac{dc}{dx}

График J, мкмоль/(м²·с) и c₁ − c₂, моль/м³

D = 1,5 · 10⁻⁹ м²/с, толщина слоя 2 мм. Ось направлена от c₁ к c₂.

Обозначения

$J$: молярный диффузионный поток, моль/(м²·с)
$D$: коэффициент диффузии, м²/с
$c$: молярная концентрация, моль/м³
$x$: координата вдоль переноса, м

Условия применения

Среда однородна, D постоянен, поток стационарен, а концентрация меняется преимущественно вдоль x. В выбранной системе координат положительное J направлено к росту x.

Ограничения

Формула локальна и не описывает сильную конвекцию, химическую реакцию или быстро меняющийся коэффициент D. Для нестационарной задачи нужна вторая формула Фика; у мембраны с сопротивлением на границе условия должны задаваться отдельно.

Подробное объяснение

Поток J показывает, сколько молей проходит через единицу площади за единицу времени. Если концентрация убывает при движении вдоль положительного x, dc/dx<0 и J>0. Минус в законе Фика выражает перенос из области большей концентрации в область меньшей, а не отрицательность самого потока.

Коэффициент D имеет размерность м²/с. Умножение D на градиент c (моль/м⁴) даёт моль/(м² · с), поэтому единицы потока согласованы. Если концентрация меняется линейно между двумя плоскостями, dc/dx можно заменить (c₂−c₁)/L.

Закон является первым, или феноменологическим, законом переноса: он связывает поток с локальным градиентом. Он не утверждает, что всякое перемещение вещества вызвано только диффузией. Скорость среды добавила бы конвективный поток, а реакция изменила бы баланс вещества.

Знак зависит от ориентации оси. При развороте оси одновременно меняются знак производной и знак J, физическое направление остаётся тем же. В задачах сначала нарисуйте профиль концентрации, затем определите знак градиента.

Для стационарного слоя постоянный поток одинаков на всех сечениях, если внутри нет источников и стоков. Если D меняется по координате, нужно интегрировать сопротивление слоя, а не брать одно среднее значение без обоснования.

Как пользоваться формулой

Опишите процесс и укажите постоянные величины.
Переведите все данные в СИ и температуру в К.
Выразите неизвестную величину символически.
Подставьте реальные числа и сохраните промежуточный результат.
Проверьте знак, размерность и физический предел.

Историческая справка

Первый закон Фика сформировался в XIX веке на фоне количественного изучения растворения и переноса вещества. Адольф Фик опубликовал математическое описание диффузии в 1855 году, проводя аналогию с законом теплопроводности. Наблюдение, что поток определяется градиентом концентрации, стало частью общей феноменологии линейных процессов. Позднее кинетическая теория и броуновское движение связали коэффициент D с хаотическим движением частиц, а статистическая физика уточнила роль флуктуаций. Современная запись с минусом сохраняет исходный физический смысл: перенос направлен против градиента. В инженерии закон используют для мембран, газовых смесей и растворённых веществ, но отдельно проверяют конвекцию и химическую реакцию.

Историческая линия формулы

Первый закон Фика обычно связывают с Адольфом Фиком и его работой 1855 года. Современное применение опирается также на кинетическую теорию и статистическую физику; знак минус выражает перенос из области высокой концентрации в область низкой.

Пример

Мембрана толщиной L = 2,0 мм содержит растворённое вещество: c₁ = 100 моль/м³ на левой стороне и c₂ = 20 моль/м³ на правой. Ось x направлена слева направо, D = 1,5 · 10⁻⁹ м²/с. Градиент dc/dx = (20−100)/0,002 = −40 000 моль/м⁴. Поэтому J = −D dc/dx = −1,5 · 10⁻⁹ · (−40 000) = 6,0 · 10⁻⁵ моль/(м² · с). Положительный знак означает поток вправо, от большей концентрации к меньшей. Проверка единиц и направления подтверждает расчёт. Линейный профиль предполагает стационарный слой с постоянным D и без реакции. Если активная площадь равна 0,010 м², молярная скорость переноса составляет JA = 6,0 · 10⁻⁷ моль/с. За 100 с при неизменных граничных концентрациях перейдёт 6,0 · 10⁻⁵ моль.

Частая ошибка

Знак потока определяется выбранной осью и знаком градиента. Нельзя использовать разность концентраций без деления на толщину. Миллиметры переводят в метры, а молярный поток отличают от массового. Линейный профиль через слой требует постоянного D и стационарности без источников; перенос движущейся средой добавляют отдельно.

Практика

Задачи с решением

Поток через слой

Условие. D = 2,0 · 10⁻¹⁰ м²/с, c₁ = 50, c₂ = 10 моль/м³, L = 1,0 мм.

Решение. dc/dx = −40000; J = 8,0 · 10⁻⁶ моль/(м² · с).

Ответ. J = 8,0 · 10⁻⁶ моль/(м² · с)

Обратный градиент

Условие. D = 1,0 · 10⁻⁹ м²/с, концентрация возрастает от 5 до 25 моль/м³ на 4 мм.

Решение. dc/dx = 5000; J = −5,0 · 10⁻⁶ моль/(м² · с).

Ответ. J = −5,0 · 10⁻⁶ моль/(м² · с), в сторону убывания c

Дополнительные источники

https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/12-7-molecular-transport-phenomena-diffusion-osmosis-and-related-processes
https://ocw.mit.edu/courses/18-366-random-walks-and-diffusion-fall-2006/0a8bdd9c04730a715ad5d54640a3702a_lec14.pdf

Связанные формулы

Физика

Среднеквадратичное перемещение при диффузии

$x_{rms}=\sqrt{2Dt}$

Для одномерной диффузии среднеквадратичное перемещение равно √(2Dt); оно растёт как корень времени, тогда как среднее направленное смещение может быть нулевым.

Физика

Диффузия сферической частицы: формула Стокса—Эйнштейна

$D=\frac{k_BT}{6\pi\eta r}$

Формула Стокса—Эйнштейна связывает коэффициент поступательной диффузии частицы с температурой, вязкостью жидкости и гидродинамическим радиусом. Большая частица при прочих равных диффундирует медленнее.

Физика

Первый закон термодинамики

$Q=\Delta U + A$

Первый закон термодинамики выражает сохранение энергии: полученное системой тепло идет на изменение внутренней энергии и работу, совершенную системой.