Все формулы РФ

Физика / Молекулярная физика

Диффузия сферической частицы: формула Стокса—Эйнштейна

Формула Стокса—Эйнштейна связывает коэффициент поступательной диффузии частицы с температурой, вязкостью жидкости и гидродинамическим радиусом. Большая частица при прочих равных диффундирует медленнее.

Опубликовано: Обновлено:

Молекулярная физикаСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаФормулы высшей физики

Формула

$$D=\frac{k_BT}{6\pi\eta r}$$
График D, 10⁻¹³ м²/с и r, мкм
D, 10⁻¹³ м²/с в зависимости от r, мкмD, 10⁻¹³ м²/с00,51,191,132,371,753,562,384,753r, мкм

T = 300 К, η = 0,001 Па·с. Показан гидродинамический радиус сферической частицы.

Обозначения

$D$
коэффициент поступательной диффузии, м²/с
$kB$
постоянная Больцмана, Дж/К
$T$
абсолютная температура, К
$η$
динамическая вязкость окружающей жидкости, Па·с
$r$
гидродинамический радиус частицы, м

Условия применения

Частицы достаточно разбавлены, среда ньютоновская и может рассматриваться как сплошная. Для сферической частицы используют стоксово сопротивление с условием прилипания жидкости к поверхности. Температура равновесная, вязкость относится к этой температуре.

Ограничения

Для очень малых молекул, концентрированных суспензий, неньютоновской среды или частиц у стенок простая форма может быть неточной. Гидродинамический радиус не обязательно равен геометрическому размеру несферической молекулы. При нагреве меняется и вязкость, поэтому D не всегда просто пропорционален T.

Подробное объяснение

Общая связь Эйнштейна для механической подвижности имеет вид D = μkBT. Подвижность μ определяют как установившуюся скорость дрейфа, делённую на слабую приложенную силу. Для сферы стоксово сопротивление равно 6πηrv, поэтому μ = 1/(6πηr). Подстановка даёт формулу для диффузии через размер и вязкость.

В числителе kBT — энергетический масштаб тепловых флуктуаций, а знаменатель — коэффициент вязкого сопротивления движению. Рост температуры усиливает тепловое движение, рост вязкости затрудняет перемещение, а более крупная сфера испытывает большее сопротивление.

Коэффициент D характеризует увеличение среднего квадрата перемещения за время. В одном измерении ⟨Δx²⟩ = 2Dt, а в трёх — ⟨Δr²⟩ = 6Dt. Среднее направленное перемещение без внешней силы равно нулю: положительный D не означает постоянного движения в одну сторону.

При обратном расчёте r = kBT/(6πηD) находят радиус эквивалентной гидродинамической сферы. Для сложной частицы он учитывает взаимодействие со средой и форму. Поэтому результат измерения диффузии нельзя без пояснений выдавать за точный геометрический радиус сухой молекулы.

Как пользоваться формулой

  1. Переведите температуру в кельвины, радиус в метры и динамическую вязкость в Па · с.
  2. Проверьте, что задан именно радиус, а не диаметр, и что частицы достаточно разбавлены.
  3. Вычислите тепловую энергию kBT и коэффициент сопротивления 6πηr.
  4. Разделите эти величины и запишите D в м²/с.
  5. Если нужен размер по измеренной диффузии, назовите результат гидродинамическим радиусом и укажите модель среды.

Историческая справка

Соотношение соединяет два результата разных уровней описания. Закон сопротивления Стокса относится к медленному движению сферы в вязкой сплошной среде. Теория броуновского движения Эйнштейна связала тепловые флуктуации с подвижностью и диффузией, позволив сопоставлять наблюдаемое случайное движение с молекулярными параметрами.

Такое соединение стало важным инструментом исследования дисперсных частиц и растворов. Позднее методы измерения диффузии, в том числе светорассеяние, сделали обратное определение гидродинамического размера широко используемой процедурой. Современная формулировка сохраняет ограничения сплошной ньютоновской среды и эквивалентной сферы. Исторические имена обозначают происхождение связи, но не отменяют проверку применимости к малым молекулам и сложным жидкостям.

Историческая линия формулы

Название объединяет стоксово вязкое сопротивление сферы и эйнштейновскую связь диффузии с механической подвижностью. Радиус в формуле является гидродинамическим параметром принятой модели, а не универсально измеряемой границей любой молекулы.

Пример

Сферическая частица имеет гидродинамический радиус r = 1,0 мкм = 10⁻⁶ м. По условию T = 300 К, η = 0,0010 Па · с и kB = 1,380649 · 10⁻²³ Дж/К. Тогда kBT = 4,141947 · 10⁻²¹ Дж, а 6πηr ≈ 1,884956 · 10⁻⁸ кг/с. Коэффициент D ≈ 2,19737 · 10⁻¹³ м²/с. За 1 с среднеквадратичное перемещение вдоль одной оси равно √(2D) ≈ 6,629 · 10⁻⁷ м, или 0,663 мкм. Это статистический масштаб по множеству наблюдений, а не обязательный путь каждой частицы. Значение вязкости дано условием и не объявляется точным табличным значением воды при 300 К.

Частая ошибка

Диаметр вместо радиуса уменьшит рассчитанный D вдвое. Кинематическая вязкость в м²/с не подставляется вместо динамической η. Температура нужна в кельвинах. Среднеквадратичное смещение не равно среднему направленному перемещению, а гидродинамический размер несферической частицы не обязан совпадать с её геометрическим радиусом.

Практика

Задачи с решением

Удвоенный радиус

Условие. T = 300 К, η = 0,001 Па · с, r = 2 мкм. Найдите D при kB = 1,380649 · 10⁻²³.

Решение. При удвоении r коэффициент вдвое меньше значения для 1 мкм: D ≈ 1,09869 · 10⁻¹³ м²/с.

Ответ. Около 1,099 · 10⁻¹³ м²/с.

Более вязкая среда

Условие. При r = 1 мкм и T = 300 К вязкость равна 0,002 Па · с. Найдите D.

Решение. Вязкость вдвое выше, поэтому D = kBT/(6πηr) ≈ 1,09869 · 10⁻¹³ м²/с.

Ответ. Около 1,099 · 10⁻¹³ м²/с.

Дополнительные источники

  • https://goldbook.iupac.org/terms/view/12260
  • https://ocw.mit.edu/courses/18-366-random-walks-and-diffusion-fall-2006/0a8bdd9c04730a715ad5d54640a3702a_lec14.pdf

Связанные формулы

Физика

Длина свободного пробега молекулы

$\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,\pi d^2 n}$

Средняя длина свободного пробега показывает, какое расстояние молекула газа в среднем проходит между последовательными столкновениями.

Физика

Концентрация молекул газа и давление

$n = \frac{N}{V},\qquad p = nk_BT = \frac{N}{V}k_BT$

Концентрация молекул n показывает, сколько частиц приходится на единицу объёма. Для идеального газа она связывает микроскопическое число молекул с давлением: p=nkBT.