Концентрация молекул газа и давление

Как пользоваться формулой

1. Уточните, какие частицы считает N: молекулы, атомы или частицы отдельного компонента смеси. Число должно относиться к объёму V.
2. Переведите объём в кубические метры: например, 2 л = 0,002 м³. Разделите N на V и запишите концентрацию в м⁻³.
3. Если дана молярная концентрация c, переведите её в моль/м³ и вычислите n = N_A c. Не подставляйте c вместо n.
4. Для расчёта давления переведите температуру: T = t + 273,15. Умножьте n на k_B = 1,380649·10⁻²³ Дж/К и на T.
5. Запишите давление в паскалях; при переводе в кПа разделите на 1000. Проверьте: при тех же n удвоение T удваивает p.

Историческая справка

Идея считать газ совокупностью движущихся частиц складывалась в XVII–XIX веках на фоне развития механики и экспериментов с давлением. Роберт Бойль и Эдм Мариотт установили зависимость давления от объёма при постоянной температуре, а Жак Шарль и Жозеф Гей-Люссак исследовали температурные зависимости. Эти макроскопические законы не содержали числа молекул, но подготовили количественную модель газа.

Даниил Бернулли рассматривал механическое происхождение давления ещё в XVIII веке. В XIX веке Клаузиус, Максвелл и Больцман развили кинетическое и статистическое описание газа. Для такого вывода важна средняя передача импульса стенке, а не траектория отдельной частицы. Появление атомно-молекулярной картины позволило заменить качественное объяснение точной величиной N/V.

Современная запись pV=NkBT закрепилась после введения постоянной Больцмана как связи между температурой и энергией одной частицы. В 2019 году значение kB стало точным в СИ, что сделало запись особенно удобной для пересчёта между микроскопическим и молярным описанием. Формула концентрации n=N/V сама по себе является определением, а её связь с давлением — результатом кинетической теории идеального газа.

Пример

Задача 1. В сосуде объёмом 0,010 м³ находится N = 2,50 · 10²³ молекул азота при температуре 300 К. Найти концентрацию и давление, считая газ идеальным. Дано: V = 0,010 м³, N = 2,50 · 10²³, T = 300 К, kB = 1,380649 · 10⁻²³ Дж/К. Сначала n = N/V = (2,50 · 10²³)/(1,00 · 10⁻²) = 2,50 · 10²⁵ м⁻³. Затем p = nkBT = (2,50 · 10²⁵)(1,380649 · 10⁻²³)(300) = 1,03548675 · 10⁵ Па. Ответ: n = 2,50 · 10²⁵ м⁻³, p≈1,04 · 10⁵ Па. Проверка: n kBT имеет единицы (м⁻³)(Дж/К)(К) = Дж/м³ = Па; величина близка к атмосферному давлению. Задача 2. В том же сосуде температуру повысили до 600 К, а число молекул и объём не изменили. Тогда n остаётся 2,50 · 10²⁵ м⁻³, а p₂ = nkB · 600 = 2,0709735 · 10⁵ Па. Давление удвоилось вместе с абсолютной температурой; это дополнительная проверка пропорциональности p∝T.

Частая ошибка

Частая ошибка — назвать n молярной концентрацией и записать единицы моль/м³. Здесь n считает молекулы и имеет единицы м⁻³; моль/м³ относится к c=ν/V. Вторая ошибка — подставить температуру в градусах Цельсия: в p=nkBT нужна шкала Кельвина. Третья — забыть разделить N на V и использовать само число молекул как концентрацию. Четвёртая — перепутать kB с R: kB применяют к одной частице, R — к одному молю. Наконец, нельзя использовать эту формулу для плотного газа без оговорки об идеализации: при заметных силах притяжения результат систематически отклоняется.